一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.(2016河南鄭州三模)設複數=a+bi(a,b∈r),則a+b=( )
a.1 b.2 c.-1 d.-2
2.已知o是△abc所在平面內一點,d為bc邊的中點,且2=0,則有( )
a. =2 b.
c. =3 d.2
3.(2016河南商丘三模)設向量e1,e2是兩個互相垂直的單位向量,且a=2e1-e2,b=e2,則|a+2b|=( )
a.2 b. c.2 d.4
4.已知菱形abcd的邊長為a,∠abc=60°,則= ( )
a.- a2 b.- a2
c. a2 d. a2
5.(2016山西太原三模)已知複數z=,則下列說法正確的是( )
的虛部為4i
的共軛複數為1-4i
c.|z|=5
在復平面內對應的點在第二象限
6.已知向量=(2,2), =(4,1),在x軸上存在一點p使有最小值,則點p的座標是( )
a.(-3,0) b.(2,0)
c.(3,0) d.(4,0)
7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ為實數,(b+λa)⊥c,則λ的值為( )
a.- b.-
c. d.
8.已知點a(-1,1),b(1,2),c(-2,-1),d(3,4),則向量方向上的投影為( )
a. b.
c.- d.-
9.(2016山東師大附中模擬)設ak=,k∈z,則a2 015·a2 016=( )
a. b.
c.2-1 d.2
10.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α, sin α),則向量與向量的夾角的取值範圍是( )
a. b.
c. d. 導學號37270573
11.(2016山東臨沂一模)已知o是座標原點,點a(-1,1),若點m(x,y)為平面區域上的乙個動點,則的取值範圍是( )
a.[-1,0] b.[0,1]
c.[0,2] d.[-1,2] 導學號37270574
12.已知||=||=2,點c**段ab上,且||的最小值為1,則|-t|(t∈r)的最小值為( )
a. b.
c.2 d. 導學號37270575
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實數t的值為 .
14.在矩形abcd中,ab=2,bc=1,e為bc的中點,若f為該矩形內(含邊界)任意一點,則的最大值為導學號37270576
15.(2016湖北武昌區調考)若向量a,b滿足:a=(-,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,則|b|= .
16.(2016上海,理12)在平面直角座標系中,已知a(1,0),b(0,-1),p是曲線y=上乙個動點,則的取值範圍是導學號37270577
解析 ∵=-i=a+bi,
∴a=-,b=.∴a+b=1,故選a.
解析由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,故選b.
解析 ∵向量e1,e2是兩個互相垂直的單位向量,
∴|e1|=1,|e2|=1,e1·e2=0.
∵a=2e1-e2,b=e2,
∴a+2b=2e1+e2.
∴|a+2b|2=4+4e1·e2+=5.
∴|a+2b|=.故選b.
解析如圖,設=a, =b.
則=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+a2=a2.
解析 ∵z==1+4i,
∴z的共軛複數為1-4i.故選b.
解析設點p座標為(x,0),則=(x-2,-2), =(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
當x=3時, 有最小值1.
∴點p座標為(3,0).
解析 b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),
又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-,故選a.
解析 =(2,1), =(5,5),向量上的投影為,故選a.
解析 ∵a2 015===,
a2 016=
=(cos 0,sin 0+cos 0)=(1,1),
∴a2 015·a2 016=×1+×1=.故選b.
解析由題意,得=(2+cos α,2+sin α),
所以點a的軌跡是圓(x-2)2+(y-2)2=2,
如圖,當a為直線oa與圓的切點時,向量與向量的夾角分別達到最大值和最小值,故選d.
解析滿足約束條件的平面區域如圖陰影部分所示.
令z==-x+y,即y=x+z.
當直線y=x+z經過點p(0,2)時,在y軸上的截距最大,從而z最大,即zmax=2.
當直線y=x+z經過點s(1,1)時,在y軸上的截距最小,從而z最小,即zmin=0.
故的取值範圍為[0,2],故選c.
解析依題意,可將點a,b置於圓x2+y2=4上;由點c**段ab上,且||的最小值為1,得原點o到線段ab的距離為1,∠aob=180°-2×30°=120°,( -t)2=4+4t2-2t×22cos 120°=4t2+4t+4=4+3的最小值是3,因此|-t|的最小值是.
13.-5 解析由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,
所以ta2+a·b=0,
而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5.
14. 解析
以a為座標原點,ab所在直線為x軸,ad所在直線為y軸,建立平面直角座標系,
則e.設f(x,y),則0≤x≤2,0≤y≤1,
則=2x+y,
令z=2x+y,當z=2x+y過點(2,1)時, 取最大值.
15. 解析 ∵a=(-,1),∴|a|=2.
∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,
∴(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,
即|a|2+2a·b=0, ①
|b|2+a·b=0. ②
由①-②×2得|a|2=2|b|2,
則|b|=.
16.[0, +1] 解析如圖,畫出函式y=的圖象.
這是以o(0,0)為圓心,以1為半徑的乙個半圓.
不妨用虛線把這個半圓補充為乙個圓.
設的夾角為θ,則θ∈[0°,90°].
當θ∈[0°,45°]時,cos (45°-θ)= ,
當θ∈[45°,90°]時,cos (θ-45°)= .
由於y=cos x,x∈r是偶函式,
所以||=2cos (θ-45°),θ∈[0°,90°].
=||||cos θ
=2cos (θ-45°)cos θ
=2cos2θ+2sin θcos θ
=sin 2θ+cos 2θ+1
=sin (2θ+45°)+1.
因為θ∈[0°,90°],
所以2θ+45°∈[45°,225°].
當2θ+45°=90°,即θ=22.5°時, 取最大值+1,
當2θ+45°=225°,即θ=90°時, 取最小值0,
所以的取值範圍是[0, +1].
證明 數系的擴充與複數
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