河北武邑中學劉存穩
函式內容作為高中數學知識體系的核心，也是歷年高考的乙個熱點。恆成立問題，涉及到一次函式、二次函式的性質、圖象,滲透著換元、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法，有利於考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。恆成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種型別：
①一次函式型；②二次函式型；③變數分離型；④賦值型⑤數形結合
一、一次函式型：利用單調性求解
給定一次函式y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內恒有f(x)>0，則根據函式的圖象（直線）可得上述結論等價於
ⅰ）或ⅱ）亦可合併定成
同理，若在[m,n]內恒有f(x)<0，則有
例1、 對於滿足|a |2的所有實數a,求使不等式x2+(a-2)x-a+1>0恆成立的x的取值範圍。
解：原不等式轉化為在時恆成立。
設f(a)=，則f(a)在上恆大於0，故有：即解得：
。即點評：此類題本質上是利用了一次函式在區間上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點在x軸上方（或下方）即可。
二、二次函式型：利用判別式，韋達定理及根的分布求解
若二次函式f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在實數集r上恆成立問題可利用判別式直接求解，即f(x)>0恆成立；f(x)<0恆成立
若是二次函式在指定區間上的恆成立問題，還可以利用韋達定理或二次方程的實根分布知識求解。
例2、 設f(x)=x2-2ax+2,當x[-1,+]時，都有f(x)a恆成立，求實數a的取值範圍。
解：f ( x ) ≥ a 在內恆成立
即 x2 – 2ax + 2 – a ≥ 0 在內恆成立
設g ( x ) = x2 – 2ax + 2 – a = (x – a)2 + 2 – a2 – a
只需 g ( x ) 在上的最小值大於等於0 即可
∵ g ( x ) = x2 – 2ax + 2 – a2 – a的對稱軸為 x = a
當 a ＜ - 1 時，最小值是
f ( - 1 ) = 1 + 2a + 2 – a = a + 3 ≥ 0
3 ≤ a ＜ - 1
當 a ≥ - 1 時，頂點的值最小
2 – a2 – a ≥ 0 即 - 2 ≤ a ≤ 1
1 ≤ a ≤ 1
綜上所述得 - 3 ≤ a ≤ 1
三、變數分離型：分離變數，巧妙求解
若在等式或不等式**現兩個變數，其中乙個變數的範圍已知，另乙個變數的範圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變數分別置於等號或不等號的兩邊，則可將恆成立問題轉化成函式的最值問題求解。
例3已知三個不等式（1）x2-4x+3<0,（2）x2-6x+8<0（3）2x2-9x+m<0,要使同時滿足（1）（2）的所有的值滿足（3），求m的取值範圍
略解：由（1） ,（2）得2要使同時滿足（1） ,（2）的所有x的值滿足(3),
即不等式在上恆成立,
即m《在上恆成立,
又在上大於9,
所以。四、賦值型：利用特植法求解
等式中的恆成立問題，常用賦值法求解，特別是對解決填空題，選擇題能很快求得。
例4、如果函式y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關於直線對稱，那麼a=( ) .
a. 1 b. -1 cd.
略解：取x=0及x=，則f(0)=，即，故選b。
點評：此法體現了從一般到特殊的轉化思想
五、數形結合：直觀求解
若把等式或不等式進行合理的變形後，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函式的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對於選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。
例6．對任意實數x，不等式恆成立，求實數a的取值範圍。
分析：設y=對於任意實數x，不等式恆成立即轉化為求函式設y=的最小值，畫出函式的圖象即可求得的取值範圍。
解：令設y==
在直角座標系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，
要使對任意實數x，不等式恆成立，只需a<-3。故實數的取值範圍是.
變式1：若對於任意實數x，不等式恆成立，求實數a的取值範圍.
變式2：若不等式在實數範圍內有解，求實數a的取值範圍。
點評：利用數形結合解決恆成立問題，應先建構函式。作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區間上函式與函式圖象間的關係，得出答案或列出條件，求出引數的取值範圍。
恆成立問題的題型和解法還有很多，只要我們充分利用所給定的特點和性質，具體問題具體分析，選用恰當的方法，對問題進行等價轉化，就能使問題獲得順利解決。只有這樣才能真正提高分析問題和解決問題的能力。
考前歸納總結 導數中的恆成立問題
導數中的恆成立問題 一 常見基本題型 1 已知某個不等式恆成立，去求引數的取值範圍 2 讓你去證明某個不等式恆成立。解此類問題的指導思想是 建構函式，或參變數分離後建構函式，轉化為求新函式的最值問題。例1 已知函式,當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍.解 不等式可化為，即.記，要使上式成立，只須是...
恆成立問題常見求解技巧
恆成立 問題是數學中常見的問題，涉及到一次函式 二次函式 指數函式 對數函式的性質 圖象,滲透著換主元 化歸 數形結合 函式與方程等思想方法,在培養思維的靈活性 創造性等方面起到了積極的作用.因此也成為歷年高考的乙個熱點。恆成立問題在解題過程中解法通常有 變數分離法 建構函式法 變換主元法 數形結合...
剖析高中數學中的恆成立問題
三個同學對問題 關於的不等式在上恆成立，求實數的取值範圍 提出各自的解題思路 甲說 只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值 乙說 把不等式變形為左邊含變數的函式，右邊僅含常數，求函式的最值 丙說 把不等式兩邊看成關於的函式，作出函式影象 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，求的取值...