導數中的恆成立問題
一、常見基本題型：
（1）已知某個不等式恆成立，去求引數的取值範圍；
（2）讓你去證明某個不等式恆成立。
解此類問題的指導思想是：建構函式，或參變數分離後建構函式，轉化為求新函式的最值問題。
例1：已知函式, 當時，不等式恆成立， 求實數的取值範圍.
解：不等式可化為，
即.記，要使上式成立，
只須是增函式即可.
即在[1,)上恆成立，
即在上恆成立，故，
所以實數的取值範圍是（-，2] .
例2：已知，函式．
（1）若函式在處的切線與直線平行，求的值；
（2）在（1）的條件下，若對任意，恆成立，求實數的取值組成的集合．
解：（1），由已知，
即，，解得或,
又因為，所以.
（2）當時，，由（2）知該函式在上單調遞增， 因此在區間上的最小值只能在處取到.
又， 若要保證對任意，恆成立，應該有，
即，解得，
因此實數的取值組成的集合是.
例3. 函式，設，若，
求證：對任意，且，都有.
證明：因為，
所以，因為，所以（當且僅當時等號成立），
所以在區間上是增函式，
從而對任意，當時，，
即,所以。
二、針對性練習
1.已知函式在處取得極值，若對任意,不等式恆成立, 求實數的取值範圍．
解：函式的定義域為又
由題設在處取得極值，∴，即或。
不等式恆成立，
即恆成立
又∴，當且僅當時
故時，不等式恆成立。
2、設函式
（ⅰ）求函式的極值點；
（ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有，求p的取值範圍；
解：（1），
當上無極值點
當p>0時，令的變化情況如下表：
從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點
（ⅱ）當p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，
要使恆成立，只需，
3.已知函式．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）若函式的影象在點處的切線的傾斜角為，問：在什麼範圍取值時，對於任意的，函式在區間上總存在極值？
解：（ι）由知：
當時，函式的單調增區間是，單調減區間是；
當時，函式的單調增區間是，單調減區間是；
（ⅱ）由,∴，.
故， 函式在區間上總存在極值，
有兩個不等實根且至少有乙個在區間內
又∵函式是開口向上的二次函式，且，∴
由，∵在上單調遞減，
所以；∴，
由， 解得；
綜上得： 所以當在內取值時，對於任意的，函式在區間上總存在極值。
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