三個同學對問題「關於的不等式在上恆成立，求實數的取值範圍」提出各自的解題思路．
甲說：「只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值」．
乙說：「把不等式變形為左邊含變數的函式，右邊僅含常數，求函式的最值」．
丙說：「把不等式兩邊看成關於的函式，作出函式影象」．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，求的取值範圍.
解析： 關鍵在於對甲，乙，丙的解題思路進行思辨，這一思辨實際上是函式思想的反映.
設.甲的解題思路，實際上是針對兩個函式的，即把已知不等式的兩邊看作兩個函式，
設其解法相當於解下面的問題：
對於,若恒成立,求的取值範圍.
所以，甲的解題思路與題目,恆成立,求的取值範圍的要求不一致.因而, 甲的解題思路不能解決本題.
按照丙的解題思路需作出函式的圖象和
的圖象,然而,函式的圖象並不容易作出.
由乙的解題思路,本題化為在上恆成立,等價於時, 成立.
由在時,有最小值,於是,.
這就是高中數學中的恆成立問題。
新課標下的高考越來越注重對學生的綜合素質的考察，恆成立問題便是乙個考察學生綜合素質的很好途徑，它主要涉及到一次函式、二次函式等函式的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。這三年的數學高考中頻頻出現恆成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函式、導數知識密不可分。
解決高考數學中的恆成立問題常用以下幾種方法：①函式性質法；②主參換位法；③分離引數法；④數形結合法。下面我就以近三年高考試題為例加以剖析：
一、函式性質法
1、二次函式：
.若二次函式（或）在r上恆成立，則有最值或判別式
.若二次函式（或）在指定區間上恆成立，可以利用求最值和韋達定理以及根的分布等知識求解。
利用最值
利用韋達定理以及根的分布等知識求解
例1：已知不等式在區間［2,3］上恆成立，求實數m的取值範圍。
【分析】有哪些方法？答案：
1. （1）若關於的不等式的解集為，求實數的取值範圍；（2）若關於的不等式的解集不是空集，求實數的取值範圍．
1.（1）設.則關於的不等式的解集為在上恆成立,
即解得（2）設.則關於的不等式的解集不是空集在上能成立,
即解得或.
7. 已知函式，，.
若，且存在單調遞減區間，求a的取值範圍；
例2（09年江西卷文17）設函式．
（1）對於任意實數，恆成立，求的最大值。
解析：(1),對, , 即在上恆成立, , 得，即的最大值為。
2、其它函式：（規律總結）
恆成立（注：若的最小值不存在，則恆成立的下界大於0）；恆成立（注：若的最大值不存在，則恆成立的上界小於0）.
例3（07年重慶卷理20)已知函式在處取得極值，其中、為常數.
（1）試確定、的值；
（2）討論函式的單調區間；
（3）若對任意，不等式恆成立，求的取值範圍。
分析：恆成立，即，要解決此題關鍵是求，。
解：（1）（2）略
（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.
要使恆成立，只需.即，
從而. 解得或. 的取值範圍為.
例4（08天津文21）．設函式，其中．
（ⅲ）若對於任意的，不等式在上恆成立，求的取值範圍．（節選）
分析：，即，， ，要解決此題關鍵是求。
解：（ⅲ）由條件可知
，從而恆成立．當時，；當時，．
因此函式在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意，不等式在上恆成立，當且僅當，
即，即在上恆成立．即，
所以，因此滿足條件的的取值範圍是．
例5（09年全國卷文21）設函式，其中常數
（）若當時，恆成立，求的取值範圍。（節選）
分析：利用導數求函式的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的範圍。
解：（）由（）知，當時，在或處取得最小值。
； 則由題意得. 即解得 。
二、主參換位法
某些含參不等式恆成立問題，在分離引數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出引數與變數，但函式的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把主元與引數換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。
例6（07遼寧卷文科22)已知函式，，且對任意的實數均有，.
(ⅰ) 求函式的解析式；
(ⅱ)若對任意的，恒有，求的取值範圍.
解析： (ⅰ)，
，而，恆成立.則由二次函式性質得 ，解得，， 。
（ⅱ）.令，則即.由於，則有. 解得.所以的取值範圍為。
例7 (08安徽文科20)．已知函式，其中為實數．
（ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值範圍．（節選）
分析：已知引數的範圍，要求自變數的範圍，轉換主參元和的位置，構造以為自變數作為引數的一次函式，轉換成，恆成立再求解。
解析：由題設知「對都成立，即對都成立。設（），
則是乙個以為自變數的一次函式。恆成立，則對，為上的單調遞增函式。 所以對，恆成立的充分必要條件是，， ，於是的取值範圍是。
三、分離引數法
利用分離引數法來確定不等式,（,為實引數）恆成立中引數的取值範圍的基本步驟:
（1） 將引數與變數分離，即化為（或）恆成立的形式；
（2） 求在上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式(或) ，得的取值範圍。
適用題型：（1） 引數與變數能分離；（2） 函式的最值易求出。
例8 （07年山東卷文15)當時，不等式恆成立，則的取值範圍是 .
解析: 當時，由得.令，則易知在上是減函式，所以時，則∴.
例9（09年山東卷文21）已知函式,其中
（1） 當滿足什麼條件時,取得極值?
（2） 已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值範圍.
分析：此題雖有三個變數、、，而的範圍已知，最終要用表示出的取值範圍，所以可以將看成乙個已知數，對和進行離參。
解析：(2)在區間上單調遞增在上恆成立恆成立，。設，，令得或(捨去)，
當時,，當時，單調增函式；
當時，單調減函式,
。。當時，，此時在區間恆成立，所以在區間上單調遞增， ， 。
綜上，當時,； 當時，。
四、數形結合（對於型問題，利用數形結合思想轉化為函式圖象的關係再處理）
若把等式或不等式進行合理的變形後，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函式的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對於選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。
例10 (07安徽理科3)若對任意,不等式恆成立，則實數的取值範圍是
(a) (b) (c) （d）
解析：對,不等式恆成立
則由一次函式性質及影象知，即。
上述例子剖析了近三年數學高考中恆成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種型別各種方法並不是完全孤立的，雖然方法表現的不同，但其實質卻都與求函式的最值是等價的，這也正體現了數學中的「統一美」。
2023年6月
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