數論是研究數的性質的一門科學,它與中學數學教育有密切的聯絡.數論問題解法靈活,題型豐富,它是中學數學競賽試題的源泉之一.下面介紹數論試題的常用方法.
1.基本原理
為了使用方便,我們將數論中的一些概念和結論摘錄如下:
我們用表示整數, ,…,的最大公約數.用[,,…,]表示, ,…,的
最小公倍數.對於實數,用表示不超過的最大整數,用{}=-表示的小數部分.對於整數,若,則稱關於模同餘,記為.
對於正整數,用表示中與互質的整數的個數,並稱為尤拉函式.對於正整數,若整數中任何兩個數對模均不同餘,則稱{}為模的乙個完全剩餘系；若整數中每乙個數都與互質,且其中任何兩個數關於模不同餘,則稱{}為模的簡化剩餘系.
定理1 設的最大公約數為,則存在整數,使得.
定理2(1)若, ,2,…, , ,則；
(2)若, , ,則；
(3)若, ,且,則；
(4)若(), ,m=,則().
定理3(1)； (2)；
(3)設為素數,則在質因數分解中,的指數為.
定理4 (1)若{}是模的完全剩餘系, ,則{}也是模的完全剩餘系；
(2)若{}是模的簡化剩餘系, ,則{}是模的簡化剩餘系.
定理5(1)若,則.
(2)若的標準分解式為,其中為正整數,為互不相同的素數,則.
對於以上結論的證明,有興趣的讀者可查閱初等數論教材.
2 方法解讀
對於數論試題,除直接運用數論的基本原理外,常用的基本方法還有因式(因數)分解法,配對法,分組法,估值法,同餘方法,構造法,調整法,數學歸納法與反證法.下面分別予以說明
2.1基本原理的應用
例1 設正整數, ,的最大公約數為1,並且(1),證明:是乙個完全平方數.
證:設, , ,其中.由於,故有.由(1)得
2)由(2)知, ,又,∴.同理可證,從而有,設,為正整數,代入(2)得3)
由(3)知,又,,. ∴.∴.故成立.
例2 設為大於1的奇數, , ,…,為給定的整數.對於{}的排列,
記,試證存在{}的兩個不同的排列b、c,使得.
證:假設對於任意兩個不同的排列b、c,均有不整除.令x為{}的所有排列構
成的集合,則{}為模的乙個完全剩餘系,從而有(1)
又2)而為大於1的奇數,所以由(1),(2)得.
又,所以,矛盾.故,存在b、c,bc,使得.
2.2 因式(數)分解
數論中許多問題直接與因式(數)分解相關聯,如合數問題,整除問題等常常是要證明某種分解式的存在.數的標準分解式本身就是一種特定形式的因數分解.在不定方程的求解與一些代數式的求值中,因式(數)分解能幫助我們確定某些變數的取值範圍,尋找到解題的方法.
例3 求三個素數,使得它們的積為和的5倍.
解:易知, ,中必有乙個為5,不妨設,則有,從而有.
因為與均為正整數,不妨設,則有或,從而知,.故所求的三個素數為2,5,7.
2.3 配對
例4 設為正奇數,證明:整除.
分析因為.故需證,注意到當為奇數時,可因式分解,因此可將中的個數兩兩配對.
證 =,
而當為奇數時, ,從而知1)
又=,2)由(1)(2)知, ,故結論成立.
2.4 分組
例5 (2023年高中聯賽試題)設,,且具有下列性質:
(1)對任何,；(2).
試證:中的奇數的個數是4的倍數,且中所有數的平方和是一定數.
證:對於,令,.,則中恰含中的乙個元素.設中有個奇數, ,…, ,有個偶數,這裡=.由題設知,10080==+
2+=.
1)由於為偶數,所以,又,所以,,即是4的倍數.
==+=+
2)將(1)代入(2)得=1349380.
2.5估值
例6 令表示前個質數之和,即, , ,…,證明:對任意的正整數,區間中包含有乙個完全平方數.
分析:設質數從小到大依次為…,要結論成立,只要存在正整數,使得,只要,只要,只要,只要,只要1)
證:直接驗證易知中都含有1個完全平方數.當時,我們證明:(1)式成立.為此,令,
則=.當時,為奇數,故,=,
故當時,數列為遞增數列.由於
32>所以當時,.故當時(1)式成立.
例7 求出不定方程(1)的全部正整數解.
解當時,易得；當時,(1)式左邊為偶數,故右邊也是偶數,所以為奇數.當時,由,得.當時,由,得.
當且為奇數時, , ,故,即,因此,所以.
另一方面,由二項式定理知=a(+.
其中a為整數,所以,故,因此,故有.
這說明當時,方程(1)無解,故方程(1)的解為, ,.
2.6同餘
例8 證明能被1984整除.
證 993==,
∴.∴.
例9 用1,2,3,4,5,6,7組成的無重複數字的7位數,證明:這些7位數中沒有乙個是另乙個的倍數.
證:若有兩個7位數, ,使得1)
由於,均是由1,2,...,7所排成,故由(1)得,
∴,即,這與矛盾,故結論成立.
2.7構造
例10 若乙個正整數的標準分解中,每個素約數的冪次都大於1,則稱它為冪數,證明:存在無窮多個互不相同的正整數,它們及它們中任意多個不同數的和都不是冪數.
證:將全體素數從小到大依次記為, , , ,….
令, ,當時, ,下證:, ,…, ,…合題意.
事實上, ,但,所以不是冪數.又對於,
==,其中a為正整數.因為,所以在的標準分解中的冪次為1,因而不是冪數.
例11 設中質數的個數為,為正整數且,求證必有個連續正整數,
其中恰有個質數.
證:令,並令為中質數的個數,則易知
,. 對於,顯然有,
所以對於,必存在乙個,使得,從而中的個連續整數滿足要求.
2.8 數學歸納法
例12 設是正整數,求證:.
證:令.因為,所以,假設,那麼對於,因為,所以要證,只需證,即只需證明.為此,令.顯然有,假設,
由於,因此,由歸納法原理知對一切,有,從而有,再由歸納法原理知,對於正整數,有.
2.9 反證法
例13 試證方程 (1)無正整數解.
分析:若()為(1)的一組解,則為偶數,令,則,從而知為偶數,再令,代入得,故為偶數,再令,代入得,因此也是方程(1)的解.這樣由方程(1)的一組正整數解必可得到另一組正整數解,且.
因此,若開始取得的正整數解使得達到最小,則這種下降不可能進行.
證:反證法. 若方程(1)存在正整數解,設是使得達到最小的正整數解,那麼依分析的過程知必可得到方程(1)的一組正整數解,且,這與達到最小相矛盾,這個矛盾表明方程(1)無正整數解.
習題1．設, ,為整數,證明是整數.
2．設,為整數,證明:.
3.設是大於3的奇數,證明可將集合的元素分成兩組,每組個元素,使得兩組數的和模同餘.
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