當陽市第二高階中學李富成
在數學問題研究中經常碰到在給定條件下某些結論恆成立問題．這類問題涉及到一次函式、二次函式的性質、圖象,滲透著換元、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法，有利於考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用．因此也成為歷年高考的乙個熱點．下面本人就高考中常出現的恆成立問題談一談自己的解法．
一變數分離法
變數分離法主要通過兩個基本思想解決「恆成立問題」
思路1、
思路2、
例1．（2023年上海）已知函式f(x)＝2x－若不等式2t f(2t)+m f(t)≥0對於t∈[1,2]恆成立，求實數m的取值範圍
解：本題可通過變數分離來解決．
當時，即，，， 故的取值範圍是
例2．（2023年全國）設，其中a為實數，n為
任意給定的自然數，且，如果當時有意義，求a的取值範圍．
解：本題即為對於，有恆成立．
這裡有三種元素交織在一起，結構複雜，難以下手，若考慮到求a的範圍，可先將a分離出來，得，對於恆成立．
建構函式，則問題轉化為求函式在上的值域，由於函式在上是單調增函式，
則在上為單調增函式．於是有的最大值為，從而可得．
如何在區間d上求函式f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,採取合理有效的方法進行求解,通常可以考慮利用函式的單調性、函式的影象、二次函式的配方法、三角函式的有界性、均值定理、函式求導等等方法求函式f（x）的最值．
二賦值法——利用特殊值求解
等式中的恆成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.
例3．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義對映f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1
a.10b.7 c.-1d.0
略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選d
例4．如果函式y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關於直線x= 對稱，那麼a
a.1b.-1 cd. -.
略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選b.
此法體現了數學中從一般到特殊的轉化思想.
三建構函式法
1、一次函式型
若原題可化為一次函式型,則由數形結合思想利用一次函式知識求解,十分簡捷．給定一次函式y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內恒有f(x)>0，則根據函式的圖象（直線）可得上述結論等價於
同理，若在[m,n]內恒有f(x)<0， 則有
例5．對於滿足|a|2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恆成立的x的取值範圍.
分析：在不等式中出現了兩個字母：x及a,關鍵在於該把哪個字母看成是乙個變數，另乙個作為常數.
顯然可將a視作自變數，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關於a的一次函式大於0恆成立的問題.
解：原不等式轉化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時恆成立,
設f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在[-2,2]上恆大於0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此類題本質上是利用了一次函式在區間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.
2、二次函式型
若二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)大於0恆成立，則有；若是二次函式在指定區間上的恆成立問題，可以利用韋達定理以及根的分布知識求解．
例6． 若函式的定義域為r，求實數的取值範圍.
分析：該題就轉化為被開方數在r上恆成立問題，並且注意對二次項係數的討論.
解：依題意，當恆成立，
所以 ①當
此時②當
有綜上所述，f(x)的定義域為r時，
例7.已知函式，若時，恆成立，求的取值範圍.
分析：要使時，恆成立，只需的最小值即可.
解：，令在上的最小值為.
⑴當，即時， 又
不存在.
⑵當，即時， 又
⑶當，即時， 又
綜上所述，.
對於二次函式在r上恆成立問題往往採用判別式法（如例6），而對於二次函式在某一區間上恆成立問題往往轉化為求函式在此區間上的最值問題（如例7）．
四數形結合法
若把等式或不等式進行合理的變形後，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函式的圖
象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果．
例8.設，若不等式恆成立，求a的取值範圍．
解：若設，則為上半圓．設，為過原點，a為斜率的直線．在同一座標系內作出函式圖象，依題意，半圓恆在直線上方時，只有時成立，即a的取值範圍為．
利用數形結合解決恆成立問題，應先建構函式，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區間上函式與函式圖象之間的關係，得出答案或列出條件，求出引數的範圍.
五換元引參法
例9.對於所有實數x，不等式恆成立，求a的取值範圍．
解：因為的值隨著引數a的變化而變化，若設，
則上述問題實質是「當t為何值時，不等式恆成立」．
這是我們較為熟悉的二次函式問題，它等價於求解關於t的不等式組：． 解得，即有，易得．
通過換元引參，把把問題變成熟悉的二次函式問題，使問題迎刃而解．
六變更主元法
例10.若對於，方程都有實根，求實根的範圍．
解：此題一般思路是先求出方程含引數m的根，再由m的範圍來確定根x的範圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以m為主元，則，
由原方程知，得又，即
解之得或．
利用變更主元法解決恆成立問題，應先把主元變更，然後結合兩者之間的關係，得出正確答案.
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