恆成立問題常見求解技巧

「恆成立」問題是數學中常見的問題，涉及到一次函式、二次函式、指數函式、對數函式的性質、圖象,滲透著換主元、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法,在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.因此也成為歷年高考的乙個熱點。恆成立問題在解題過程中解法通常有:

①變數分離法；②建構函式法；③變換主元法；④數形結合法（影象法）.

1、建構函式法：

（1）一次函式法

給定一次函式，若在在區間上恒有，則；

若在在區間上恒有，則.

例. 若不等式對恆成立，求實數的取值範圍。

（二）二次函式法

1. 對恆成立；對恆成立；

2. 若是二次函式在指定區間上的恆成立問題，還可以利用二次函式的影象求解。

例. 已知函式的定義域為，求實數的取值範圍.

例. 不等式對恆成立，求實數的取值範圍。

2．變數分離法

若在等式或者不等式中出現兩個變數，其中乙個變數的範圍已知，另乙個變數的範圍為所求，切容易通過恒等變形將兩個變數分別置於等號或者不等號兩邊，則可將恆成立問題轉化為函式的最值問題求解。理論依據是：恆成立；恆成立.

例. 當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍。

3．影象法

若把不等式合理變形後，能比較容易做出不等式兩邊對應函式的影象，這樣就把乙個很難解決的不等式問題轉化為利用影象解決的問題。

例. 當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍。

4．變換主元法

例. 若對任意,不等式恆成立，求的取值範圍。

作業：1. 關於的方程恒有解，求實數的取值範圍。

2.若對一切實數，不等式恆成立，求實數的取值範圍。

3.對於二次函式，如果時，恆成立，求實數的取值範圍。4.若不等式對於任意都成立，求實數的取值範圍。