導數結合洛必達法則巧解高考壓軸題
法則1 若函式f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1)及；
(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
(3)，
那麼=。
法則2 若函式f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及；
(2)，f(x) 和g(x)在與上可導，且g'(x)≠0；
(3)，
那麼=。
法則3 若函式f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1)及；
(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
(3)，
那麼=。
利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：
將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，，洛必達法則也成立。
洛必達法則可處理，，在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，
當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。
若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。
二．高考題處理
1.(2023年全國新課標理)設函式。
（1） 若，求的單調區間；
（2） 若當時，求的取值範圍
原解：（1）時，，.
當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加
（ii）
由（i）知，當且僅當時等號成立.故
，從而當，即時，，而，
於是當時，.
由可得.從而當時，
，故當時，，而，於是當時，.
綜合得的取值範圍為
原解在處理第（ii）時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：
另解:（ii）當時，，對任意實數a,均在；
當時，等價於
令(x>0),則，令，則，，
知在上為增函式，；知在上為增函式，；，g(x)在上為增函式。
由洛必達法則知，，
故綜上，知a的取值範圍為。
2．（2023年全國新課標理）已知函式，曲線在點處的切線方程為。
（ⅰ）求、的值；
（ⅱ）如果當，且時，，求的取值範圍。
原解：（ⅰ）
由於直線的斜率為，且過點，故即
解得，。
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以
考慮函式，則。
（i）設，由知，當時，，h（x）遞減。而故當時， ，可得；
當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）設00,故 （x）>0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。
（iii）設k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。
綜合得，k的取值範圍為（-，0]
原解在處理第（ii）時非常難想到，現利用洛必達法則處理如下：
另解：（ii）由題設可得，當時，k《恆成立。
令g (x)= (),則，
再令()，則，，易知在上為增函式，且；故當時，，當x（1，+）時，；
在上為減函式，在上為增函式；故》=0
在上為增函式
=0當時，，當x（1，+）時，
當時，，當x（1，+）時，
在上為減函式，在上為增函式
由洛必達法則知
，即k的取值範圍為（-，0]
洛必達法則失效的種種情況及處理方法
今天我在看xx書時，看到這樣一道題，說是不可以使用洛必達法則，我對照這本書上關於使用洛必達法則的條件，覺得還不太清楚，好像應該是符合條件的，謝謝你抽空給我指點一下。洛必達法則是計算極限的一種最重要的方法，我們在使用它時，一定要注意到該法則是極限存在的充分條件，也就是說洛必達法則的三個條件 1 或 或...
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