「含引數不等式的恆成立」的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函式、數列、三角函式、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想：
即一般的，若函式在定義域為d，則當x∈d時，有恆成立；恆成立.因而,含引數不等式的恆成立問題常根據不等式的結構特徵,恰當地建構函式,等價轉化為含引數的函式的最值討論.
例一已知函式.
①求的反函式;
②若不等式對於恆成立,求實數a的取值範圍.
分析：本題的第二問將不等式轉化成為關於t的一次函式在恆成立的問題. 那麼，怎樣完成這個轉化呢？轉化之後又應當如何處理呢？
【解析】 ①略解
②由題設有,∴,
即對於恆成立. 顯然,a≠-1
令,由可知
則對於恆成立.
由於是關於t的一次函式.（在的條件下表示一條線段，只要線段的兩個端點在x軸上方就可以保證恆成立）
∴例二定義在r上的函式既是奇函式，又是減函式，且當時，有
恆成立，求實數m的取值範圍.
分析: 利用函式的單調性和奇偶性去掉對映符號f，將「抽象函式」問題轉化為常見的含參的二次函式在區間(0，1)上恒為正的問題.而對於0在給定區間[a，b]上恆成立問題可以轉化成為在[a，b]上的最小值問題，若中含有引數，則要求對引數進行討論。
【解析】由得到：
因為為奇函式，
故有恆成立，
又因為為r減函式，
從而有對恆成立
設，則對於恆成立，
在設函式,對稱軸為.
①當時，，
即，又∴ (如圖1)
②當，即時,
,即,∴,又,
∴(如圖2)
③當時，恆成立.
∴(如圖3)
故由①②③可知：.
例三定義在r上的單調函式f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函式；
(2)若對任意x∈r恆成立，求實數k的取值範圍．
分析: 問題(1)欲證f(x)為奇函式即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)於是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函式得到證明．問題(2)的上述解法是根據函式的性質．f(x)是奇函式且在x∈r上是增函式，把問題轉化成二次函式f(t)=t-(1+k)t+2＞0對於任意t＞0恆成立．對二次函式f(t)進行研究求解．
【解析】(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈r
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈r成立，所以f(x)是奇函式．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在r上是單調函式，
所以f(x)在r上是增函式，又由(1)f(x)是奇函式．
，即對於任意恆成立.
令t=3＞0，
問題等價於對於任意恆成立.
令,其對稱軸為直線
當,即時,
恆成立,符合題意,故;
當時,對於任意,恆成立，解得
綜上所述,當時,對於任意恆成立.
本題還可以應用分離係數法,這種解法更簡捷.
分離係數,由得.
由於,所以,故,即u的最小值為.
要使對於不等式恆成立,只要
說明: 上述解法是將k分離出來，然後用平均值定理求解，簡捷、新穎．
例四已知向量=(，x+1)， = (1-x，t)。若函式在區間（-1，1）上是增函式，求t的取值範圍。（2023年湖北卷第17題）
分析：利用導數將「函式在區間（-1，1）上是增函式」的問題轉化為「在（-1，1）上恆成立」的問題，即轉化成為「二次函式在區間（-1，1）上恆成立」 ，利用分離係數法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值範圍。
【解析】依定義。
則，若在（-1，1）上是增函式，則在（-1，1）上可設恆成立。
∴在（-1，1）上恆成立。
考慮函式，（如圖4）
由於的圖象是對稱軸為，
開口向上的拋物線，
故要使在（-1，1）上恆成立，
即。而當時，在（-1，1）上滿足》0，即在（-1，1）上是增函式。
故t的取值範圍是.
數學思想方法是解決數學問題的靈魂，同時它又離不開具體的數學知識在解決含引數不等式的恆成立的數學問題中要進行一系列等價轉化．因此，更要重視轉化的數學思想．
含引數不等式恆成立問題的解題策略
解決 含引數不等式的恆成立 問題的基本方法 含引數不等式的恆成立 的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函式 數列 三角函式 解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想 即一般地，若函式的定義域為d，則當x d時，有恆成立 有解m 恆成立 有解 因而,含引數不等式的恆成...
含引數不等式恆成立問題的求解方法 學生版
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