不等式(組)的字母取值範圍的確定方法
近年來各地中考、競賽試題中，經常出現已知不等式(組)的解集，確定其中字母的取值範圍的問題，下面舉例說明字母取值範圍的確定方法，供同學們學習時參考．
一、 根據不等式(組)的解集確定字母取值範圍
例l、如果關於x的不等式(a+1)x>2a+2．的解集為x<2，則a的取值範圍是（ b )
a．a<0 b．a<-l c．a>l d．a>-l
解：將原不等式與其解集進行比較，發現在不等式的變形過程中運用了不等式的基本性質3，因此有a+l<0，得a<-1，故選b．
例2、已知不等式組的解集為a〈x〈5。則a的範圍是 2≤a<5 ．
解：借助於數軸，如圖1，可知：1≤a<5並且 a+3≥5．
所以，2≤a<5 ．
二、根據不等式組的整數解情況確定字母的取值範圍
例3、關於x的不等式組有四個整數解，則a的取值範圍是 -11/4≤a<-5/2 ．
分析：由題意，可得原不等式組的解為8例4、已知不等式組的整數解只有5、6。求a和b的範圍．
解：解不等式組得，借助於數軸，如圖2知：
2+a只能在4與5之間。只能在6與7之間．
∴4≤2+a<56<≤7
∴2≤a<313三、根據含未知數的代數式的符號確定字母的取值範圍
例5、已知方程組滿足x+y<0，則( c )
a．m>-l b．m>l c．m<-1 d．m<1
分析：本題可先解方程組求出x、y，再代入x+y<0，轉化為關於m的不等式求解；也可以整體思考，將兩方程相加，求出x+y與m的關係，再由x+y<0轉化為m的不等式求解．
解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m，∴x+y＝<0．∴m<-l，故選c．
例6、已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值範圍．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=，由3b－2x－16＝0，可得b=.
又a≤4＜b，所以,≤4＜， 解得:-2＜x≤3.
四、逆用不等式組解集求解
例7、如果不等式組無解，則m的取值範圍是
分析：由2x一6≥0得x≥3，而原不等式組無解，所以3>m，∴m<3．
解：不等式2x-6≥0的解集為x≥3，借助於數軸分析，如圖3，可知m<3．
例8、不等式組有解，則
<2 <1 d.1≤m<2
解：借助圖4，可以發現：要使原不等式組有解，表示m的點不能在2的右邊，也不能在2上，所以，m<2．故選（a）．
例9、(2023年泰安市)若關於的不等式組有解，則實數的取值範圍是 ．
解：由x-3(x-2)<2可得x>2，由可得x因為不等式組有解,所以a>2，所以,.
例3、 某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配a，b兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側，已知搭配乙個a種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配乙個b種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．
（1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來．
（2）若搭配乙個a種造型的成本是800元，搭配乙個b種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？
不等式（組）中待定字母的取值範圍
不等式（組）中字母取值範圍確定問題，在中考考場中頻頻登場。這類試題技巧性強，靈活多變，難度較大，常常影響和阻礙學生正常思維的進行，為了更加快捷、準確地解答這類試題，下面簡略介紹幾種解法，以供參考。
一. 把握整體，輕鬆求解
例1. （孝感市）已知方程滿足，則（ ）
a. b. c. d.
解析：本題解法不惟一。可先解x、y的方程組，用m表示x、y，再代入，轉化為關於m的不等式求解；但若用整體思想，將兩個方程相加，直接得到x+y與m的關係式，再由x+y<0轉化為m的不等式，更為簡便。
①+②得， 所以，
解得，故本題選c。
二. 利用已知，直接求解
例2. 如果關於x的方程的解也是不等式組的乙個解，求m的取值範圍。
解析：此題是解方程與解不等式的綜合應用。解方程可得
因為，所以
所以且；……①
解不等式組得，
又由題意，得，解得……②
綜合①、②得m的取值範圍是
例3. 已知關於x的不等式的解集是，則m的取值範圍是（ ）
ab. cd.
解析：觀察不等式及解集可以發現，不等號的方向發生了改變，於是可知不等式的兩邊同時除以了同乙個負數，即，所以。故本題選b。
三. 對照解集，比較求解
例4. （東莞市）若不等式組的解集為，則m的取值範圍是（ ）
abcd.
解析：原不等式組可變形為，因為不等式的解集為，根據「同大取大」法則可知，，解得。故本題選c。
例5. （威海市）若不等式組無解，則a的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
解析：原不等式組可變形為，根據「大大小小無解答」法則，結合已知中不等式組無解，所以此不等式組的解集無公共部分，所以。故本題選a。
四. 靈活轉化，逆向求解
例6. （威海市）若不等式組無解，則a的取值範圍是（ ）
abcd.
解析：原不等式組可變形為，假設原不等式組有解，則，所以，即當時，原不等式組有解，逆向思考可得當時，原不等式組無解。故本題選a。
例7. 不等式組的解集中每一x值均不在範圍內，求a的取值範圍。
解析：先化簡不等式組得，由題意知原不等式組有解集，即有解，又由題意逆向思考知原不等式的解集落在x<3和x>7的範圍內，從而有或，所以解得或。
五. 巧借數軸，分析求解
例8. 已知關於x的不等式組的整數解共有5個，則a的取值範圍是
解析：由原不等式組可得，因為它有解，所以解集是，此解集中的5個整數解依次為1、0、、、，故它的解集在數軸上表示出來如圖1所示，於是可知a的取值範圍為。
圖1例9. 若關於x的不等式組有解，則a的取值範圍是
解析：由原不等式組可得，因為不等式組有解，所以它們的解集有公共部分。在數軸上，表示數3a的點應該在表示數的點右邊，但不能重合，如圖2所示，於是可得，解得。故本題填。
圖2例10.如果不等式組的解集是，那麼的值為 ．
【分析】一方面可從已知不等式中求出它的解集，再利用解集的等價性求出a、b的值，進而得到另一不等式的解集．
【答案】解：由，得；由，得
故，而故4－2a=0，=1，故a=2, b=﹣1，故a+b=1
例11.如果一元一次不等式組的解集為．則的取值範圍是( c )
abcd．
例12.若不等式組有解，則a的取值範圍是（ ）
abcd．
【解析】本題考查一元一次不等式組的有關知識，由不等式組得，因為該不等式組有解，所以，故選a.
例13.關於x的不等式組的解集是，則m = -3 ．
例14.已知關於x的不等式組只有四個整數解，則實數的取值範圍是 （-3〈a≤-2)
例15．（黃石市）若不等式組有實數解，則實數m的取值範圍是（ ）
分析已知不等式組有解，於是，我們就先確定不等式組的解集，再利用解集的意義即可確定實數m的取值範圍.
解：解不等式組得
因為原不等式組有實數解，所以根據不等式解集的意義，其解集可以寫成m≤x≤，即m≤.故應選a.
說明本題在確定實數m的取值範圍時，必須抓住原不等式組有實數解這一關鍵條件
例16.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x＞1，則k的範圍是 。
分析：這是乙個含引數的關於x的不等式的解集已知的問題。解決這一問題的關鍵是觀察不等式中不等號的方向與其解集中不等號的方向是否一致，若不一致，則說明未知數的係數為負；若一致，則說明未知數的係數為正。
從而把問題轉化為關於引數的不等式，解這個不等式式得到引數的解。本問題中中因為不等式的不等號方向和其解集的不等號方向不一致，從而斷定2k+1<0，所以k<。
例17.如果關於x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集為x<，求關於x的不等式ax>b的解集。
分析：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集為x<，觀察到不等號的方向已作了改變，故可知(2a－b)<0，且，解此方程可求出a，b的關係。
解：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集為x<，可知：2a－b<0，且，得b=。
結合2a－b<0，b=，可知b<0，a<0。 則ax>b的解集為x<。
例18.已知不等式4x－a≤0，只有四個正整數解1，2，3，4，那麼正數a的取值範圍是什麼？
分析：可先由不等式解集探求字母的取值範圍，可採用模擬的方法。
解：由4x－a≤0得x≤。
因為x≤4時的正整數解為1，2，3，4；
x≤4.1時的正整數解為1，2，3，4；
…x≤5時的正整數解為1，2，3，4，5。 所以4≤<5，則16≤a<20。
其實，本題利用數形結合的方法來解更直觀易懂。根據題意畫出直觀圖示如下：
因為不等式只有四個正整數解1，2，3，4，設若在4的左側，則不等式的正整數解只能是1，2，3，不包含4；若在5的右側或與5重合，則不等式的正整數解應當是1，2，3，4，5，與題設不符。所以可在4和5之間移動，能與4重合，但不能與5重合。因此有4≤<5，故16≤a<20。
9 1不等式解集
9.1.1不等式及其解集 教學時間年月日設計教師 谷曉波 學習目標 1 感受生活中存在著大量的不等關係，了解不等式和一元一次不等式的意義，通過解決簡單的實際問題，使學生自發地尋找不等式的解，會把不等式的解集正確地表示到數軸上。2 經歷由具體例項建立不等模型的過程，經歷 不等式解與解集的不同義的過程，...
含引數不等式恆成立問題的解題策略
解決 含引數不等式的恆成立 問題的基本方法 含引數不等式的恆成立 的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函式 數列 三角函式 解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想 即一般地，若函式的定義域為d，則當x d時，有恆成立 有解m 恆成立 有解 因而,含引數不等式的恆成...
不等式 含線性規劃
不等式1.2010上海文 15.滿足線性約束條件的目標函式的最大值是 a 1bc 2d 3.2.2010浙江理 7 若實數，滿足不等式組且的最大值為9，則實數 abc 1d 2 3.2010全國卷2理 5 不等式的解集為 ab cd 4.2010全國卷2文 2 不等式 0的解集為 a b c d 5...