210008 江蘇省南京外國語學校李平龍
確定恆成立不等式中引數的取值範圍需靈活應用函式與不等式的基礎知識，並時常要在兩者間進行合理的交匯，因此此類問題屬學習的重點；然而，怎樣確定其取值範圍呢？課本中卻從未論及，但它已成為近年來命題測試中的常見題型，因此此類問題又屬學習的熱點；在確定恆成立不等式中引數的取值範圍時，需要在函式思想的指引下，靈活地進行代數變形、綜合地運用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解當屬學習過程中的難點.基於此，下文試對此類問題的求解策略與方法作一提煉總結.
一解集比較法
集合a上恆成立的不等式意即不等式的解集以a為子集.據此,求出不等式的解集並研究集合間的包含關係,進而求出引數取值範圍的方法.此法較為原始,易使問題陷入困境.
例1 已知|x-5/2|〈a時，不等式|x2-5|〈4恆成立，求正數a的取值範圍.
解由|x-5/2|〈a,得5/2-a〈x<5/2+a；由|x2-5|〈4，得-3〈x〈-1或1〈x〈3.若令a=(5/2-a,5/2+a),b=(-3,-1) (1,3),則原恆成立問題等價於或,解之得,正數a的取值範圍是(0,1/2].
二函式最值法
不等式f(x)>a恆成立等價於f(x)min>a；不等式f(x)〈a恆成立等價於f(x)max〈a.據此,可將恆成立的不等式問題轉化為求函式的最大或最小值問題,從而使問題獲解的方法.
例2 若不等式對滿足的一切m都成立，試求實數x的取值範圍.
分析若將原問題轉化為集合[-2,2]是原關於m的不等式的解集的子集,則不可避免地要分類討論.若令,則可轉化為函式f(m)在區間[-2,2]上的最大值小於零,而f(m)是「線性函式」或「常數函式」，其最值在區間端點取得，故f（-2）〈0且f（2）〈0，解之得，x的取值範圍是.
例3 若不等式x2-m(4xy- y2)+4m2y20對一切非負實數x、y恆成立，試求實數m的取值範圍.
解若y=0,則對任意實數m不等式都成立；若,則原不等式可化為.設,則且.問題轉化為二次函式g(t)在區間上的最小值非負.
故有或.由此解得,m的取值範圍為.
說明二次函式的圖象與性質是中學數學中的重點內容,利用二次函式在區間上的最值來研究恆成立問題,可使原本複雜的問題變得易於解決.
三分離引數法
將參變元與主變元從恆不等式中彼此分離,可更簡捷地實施「函式最值法」.
例4 若不等式對一切正數x、y恆成立，求實數a的取值範圍.
解分離引數得:.∵,∴,∴,從而,即a的取值範圍是.
例5 定義在r上的奇函式f(x)是減函式,是否存在這樣的實數m,使f(cos2+2msin)+f(-2m-2)>f(0)對所有的∈[0,]均成立?若存在,則求出所有適合條件的實數m;若不存在,試說明理由.
解由題意知,原不等式等價於: cos2+2msin<2m+2,2m(1-sin)> cos2-2.若1-sin=0,則不論m為何值時不等式均成立；若1-sin0，則分離引數得：.
令1-sin=t,則0,它在(0,1]上為增函式,故t=1時,ymax=-1.由2m> ymax知,所有適合不等式的m的取值範圍是(-).
說明在求解本例時,若無分離引數的求簡意識,則必轉化為含參二次函式在區間上的最值問題,不可避免地要進行分類討論.此外,諸多恆成立的不等式問題通過引數分離後常可轉化為函式的最值問題,其最值的求解通常用基本不等式或函式的單調性來完成.
四數形結合法
將恆成立的不等式問題,合理地轉化為乙個函式的圖象恆位於另乙個函式圖象的上（下）方，進而利用圖形的直觀性而使問題獲得巧解的方法.
例6 若不等式3|x+a|-2x+6>0對一切實數x都成立,試求實數a的取值範圍.
分析嘗試前述三種方法均較為麻煩,而將原不等式變形為|x+a|>,並建構函式f(x)= |x+a|,g(x)=,在同一座標系內作出它們的圖象(圖略),借助於圖形直觀立知:-a<3,即a>-3,所求a的取值範圍是(-3,+).
例7 若函式的定義域為r，求實數a的取值範圍.
分析 f(x)的定義域為r等價於在實數集r中恆成立,令t=|sinx|,則,且在上恆成立.至此,有
解法1 轉化為.此時,若呆板地去求二次函式g(t)在區間[0,1]上的最小值,則必分類討論；而借助於二次函式圖形直觀分析思考後知:閉區間上開口向下的二次函式的最小值必在區間端點處取得,便有g(0) 0且g(1) 0,由此解得a值的範圍是[0,1].
解法2 轉化為,即在時,函式的圖象恆在函式圖象的上方,觀察圖形(圖略)便知,.故a的取值範圍為[0,1].
綜上所述,求恆成立不等式中引數的取值範圍固然有四類彼此相聯的思維方法,但是面對具體問題時,只有在函式思想的指引下,樹立強烈的引數分離與數形結合的意識,這些方法才能產生良好的效益.
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