§3.2.3含引數的一元二次不等式的解法
【學習目標】
理解含引數的一元二次不等式的三種題型的解題方法
【**學習】
解含引數的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那麼如何討論呢？對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：
一、按項的係數的符號分類，即;
【例1】 解不等式：
分析：本題二次項係數含有引數，，故只需對二次項
係數進行分類討論。
解：∵解得方程兩根
∴當時,解集為
當時，不等式為,解集為
當時, 解集為
【變式1】 解不等式
分析因為，，所以我們只要討論二次項係數的正負。
解當時，解集為；當時，解集為
二、按判別式的符號分類，即；
【例2】 解不等式
分析本題中由於的係數大於0,故只需考慮與根的情況。
解：∵∴當即時，解集為；
當即δ＝0時，解集為；
當或即,此時兩根分別為，，顯然,
∴不等式的解集為
【變式2】解不等式
解因所以當，即時，解集為；
當，即時，解集為；
當，即時，解集為r。
三、按方程的根的大小來分類，即；
【例3】 解不等式
分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題
只需討論兩根的大小即可。
解：原不等式可化為：，令，可得：
∴當或時， ，故原不等式的解集為；
當或時，,可得其解集為；
當或時, ,解集為。
【變式3】 解不等式，
分析此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.
解原不等式可化為：，對應方程的兩根為
，當時，即，解集為；當時，即，解集為
【課堂小結】
【課後作業】
1、設a為引數，解關於x的一元二次不等式ax2-(a+1)x+1＜0．
解 (1)a=0，原不等式為-x+1＜0，解為x＞1．
(2)a≠0，分解因式得，一下討論根的大小
①若a＞0，則
②若a＜0，則，解得
2、解關於的不等式
3、解關於的不等式（為引數）
解：原不等式可化為
若，則，即，原不等式的解集為；
若，即或，則原不等式的解集為；
若，即或，則原不等式的解集為
因此，當時，原不等式的解集為；當或時，原不等式的解集為
【課後預學】
1、在指定區間的最值求法
2、恆成立條件是什麼？
§3.2.3一元二次不等式中的恆成立問題解題策略
【學習目標】掌握一元二次不等式中的恆成立問題解題方法
不等式恆成立問題是近幾年高考以及各種考試中經常出現，它綜合考查函式、方程和不等式的主要內容，並且與函式的最值、方程的解和引數的取值範圍緊密相連。解答這類問題有幾種典型方法。
【最值法】
【例1】若已知不等式對∈恆成立，求實數的取值範圍.
分析：本題是一元二次不等式在某個區間上恆成立問題，將其化為一邊是關於的二次式的另一邊為0的形式，其對應的函式最值易求，故用最值法.
解析：原不等式可化為：＜0對∈恆成立，
設= (∈)=，對稱軸=∈且離2遠，故=2時， =，
要使＜0對∈恆成立，只需=≤0即可，
解得≥，∴實數的取值範圍為.
點評：對含引數的不等式恆成立問題，可將其化為＞0（或＜0）在的某個範圍上恆成立問題，則0 (0),先求出的最值，將其轉化為關於的不等式問題，通過解不等式求出引數的取值範圍.
【變式1】已知，若恒成立，求a的取值範圍.
解析本題可以化歸為求函式f(x)在閉區間上的最值問題,只要對於任意.若恒成立
或或，即a的取值範圍為.
【判別式法】
【例2】不等式＜1對r恆成立，求實數的取值範圍.
分析：本題左邊是分子和分母都為關於二次三項式，可用判別式法.
解析：∵＞0恆成立，
∴原不等式可化為：＞0對r恆成立，
∵2>0， ∴=＜0，解得1＜＜3，
∴實數的取值範圍為（1，3）.
點評：對可化為關於一元二次不等式對對r（或去掉有限個點）恆成立，常用判別式法.先將其化為關於一元二次不等式，結合對應的一元二次函式影象，確定二次項係數與判別式滿足的條件，化為關於引數的不等式問題，通過解不等式求解.
注意二次是否可為0.
【變式2】在r上定義運算：，若不等式對任意實數x成立，則( )
(a)－1分析：根據條件得出二次不等式對任意恆成立，可借助二次方程的的符號求解
解：由題意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1對任意x成立
即x2-x-a2+a+1>0對xr恆成立,記f(x)=x2-x-a2+a+1則應滿足
化簡得 4a2-4a-3<0 解得 ,故選擇c。
【分離變數法】
【例3】已知函式在r上是減函式，對一切不等式成立，求實數的取值範圍.
分析:先用函式的單調性化為關於的不等式，再用分離變數法，化為一端關於的式子另一端是關於的式子的不等式，
解析：∵函式在r上是減函式，對一切不等式成立，
∴≥對一切恆成立，
∴≥對一切恆成立，
設=， ∴≥
===，
當=1即=（）時， =2，
∴≥2， 解得≤或≥3，
∴實數的取值範圍為≤或≥3.
點評：對含引數不等式的在某個範圍上恆成立求引數範圍問題,若容易通過恒等變形將兩個變數分別置於不等號的兩邊，即化為不等式 (或》)在的某個範圍上恆成立問題,則 (),先求出的最值，將其轉化為關於的不等式問題，通過解不等式求出引數的取值範圍.
【變式3】已知函式，若在區間上，的圖象位於函式f(x)的上方，求k的取值範圍.
解析本題等價於乙個不等式恆成立問題,即對於恆成立,式子中有兩個變數,可以通過變數分離化歸為求函式的最值問題. 對於恆成立對於恆成立,令,設,則,即x=1時, k的取值範圍是k>2.
練習：1、不等式＜1對r恆成立，求實數的取值範圍.
解析：∵＞0恆成立，
∴原不等式可化為：＞0對r恆成立，
∵2>0， ∴=＜0，解得1＜＜3，
∴實數的取值範圍為（1，3）.
2、知，若恒成立，求a的取值範圍.
解析本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間的右側三種情況，即δ≤0或或，即a的取值範圍為[-7，2].
3、已知函式，若在區間上，的圖象位於函式f(x)的上方，求k的取值範圍.
解：由題意得，對於恆成立對於恆成立,令,設,則，
, , k的取值範圍是k>.
一元二次不等式說課稿
唐鑫各位評委 老師 你們好！我是來自汽車專業部的唐鑫，今天我說課的課題是 一元二次不等式 選自高等教育出版社中等職業教育課程改革國家規劃新教材 數學 基礎模組 上冊第二章第三節的內容，下面我將圍繞本節課 教什麼？怎樣教？以及 為什麼這樣教？三個問題，將從教學內容的分析 教學目標的確定 教法與學法的選...
一元一次 一元二次不等式
初高中教材銜接一 一元二次不等式導學提綱 班級小組姓名 學習目標 1.複習鞏固初中相關概念 2.掌握解一元二次不等式的基本方法 3.能運用一元二次不等式與一元二次方程和一元二次函式的關係解決二次不等式的問題 學習重點 難點 重點 一元二次不等式的解法 深刻理解三個二次之間的關係 難點 一元二次不等式...
一元二次不等式的教案
3.2一元二次不等式 三維目標 一 知識與技能 1.經歷從實際情境抽象出一元二次不等式模型的過程。2.通過函式圖象了解一元二次不等式與相應函式 方程的聯絡。3.會解一元二次不等式。4.培養數形結合 分類討論 等價轉化的思想方法，培養抽象概括能力和邏輯思維能力 通過看圖象找解集，培養學生從 從形到數 ...