高考專題訓練十三
班級_______ 姓名_______ 時間：45分鐘分值：75分總得分________
一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．
1．(2011·陝西)設0a．ac．a<解析：∵b>a>0，∴ >，2b>b＋a，
∴b>，∴a<<答案：b
2．(2011·福建)若a>0，b>0，且函式f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等於( )
a．2 b．3
c．6 d．9
解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b.
因在x＝1處有極值，則f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6，ab≤2＝9.
答案：d
[**:學科網]
3．(2011·廣東b)不等式2x2－x－1>0的解集是( )
a. b．(1，＋∞)
c．(－∞，1)∪(2d.∪(1，＋∞)
解析：∵2x2－x－1>0，
∴(2x＋1)(x－1)>0，
∴x>1或x<－，
∴原不等式的解集為∪(1，＋∞)．
答案：d
4．(2011·山東)設變數x，y滿足約束條件，則目標函式z＝2x＋3y＋1的最大值為( )
a．11 b．10
c．9 d．8.5
解析：可行域如圖
當目標函式過點a時，取最大值，由
得a(3,1)，故最大值為10.
答案：b
5．(2011·浙江)若實數x，y滿足不等式組則3x＋4y的最小值是( )
a．13 b．15 c．20 d．28
解析：由線性約束條件作出可行域如圖所示，直線x＋2y－5＝0與2x＋y－7＝0的交點p(3,1)，令z＝3x＋4y，
∴zmin＝13.
答案：a
6．(2011·商丘市高三一模)定義在r上的函式f(x)滿足f(3)＝1，f′(x)為f(x)的導函式，已知y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩個正數a、b滿足f(3a＋b)<1，則的取值範圍是( )
a．(1,2) b．(2,5)
c．(1,5) d．(－∞，1)∪(5，＋∞)
解析：由f(x)的導函式y＝f′(x)的圖象可得y＝f(x)(如下圖)的大致圖象，
由圖象可知，當a>0，b>0
即3a＋b>0時，y＝f(x)為增函式，
又∵f(3)＝1，∴f(3a＋b)∴，作出可行域如下圖[**:z§xx§
∴的最小值為直線ab的斜率kab＝1
的最大值為直線ac的斜率kac＝5
∴∈(1,5)，故選c.
答案：c
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
7．(2011·陝西省高考全真模擬一)若a、b是正常數，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，則＋≥，當且僅當＝時上式取等號．利用以上結論，可以得到函式f(x)＝＋的最小值為________．
解析：由題意知，f(x)＝＋，x∈，[**:z+xx+
∵2≠3且均為正常數，x∈，
∴1－2x∈(0,1)，
∴＋≥，
當且僅當＝時，即x＝時等號成立，即f(x)≥35.
答案：35
8．已知函式f(x)＝，則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值範圍是________．
解析：本題以分段函式為載體，考查函式的單調性及一元二次不等式的解法，求解的關鍵在於正確利用函式的性質進行等價轉化．
由題意有或，解得－1答案：(－1，－1)
9．(2011·湖南)設m>1，在約束條件下，目標函式z＝x＋5y的最大值為4，則m的值為________．
解析：作出約束條件對應的可行域為如圖所示陰影△oab.
∵目標函式可化為y＝－x＋z.
它在y軸上的截距最大時z最大．
∴當目標函式線過點a時z最大．
由解得a，
∴zmax＝＋＝＝4，
∴m＝3.
答案：3
10．(2011·湖北省黃岡中學模擬考試)若實數x，y滿足則的取值範圍是________．
解析：如圖所示，
不等式組所表示的可行域為線段ab，可看作是可行域內的點p(x，y)到原點o的距離，由圖易知|po|min＝0，|po|max＝|ao|，由得a(－6,8)，故|po|max＝＝10，即的取值範圍為[0,10]．[**:學科網]
答案：[0,10]
三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
11．(12分)(2011·江西師大附中、臨川一中高三聯考)已知定義在r上的函式f(x)滿足f(x)＝f(4－x)，又函式f(x＋2)在[0，＋∞)上單調遞減．
(1)求不等式f(3x)>f(2x－1)的解集；
(2)設(1)中不等式的解集為a，對於任意的t∈a，不等式x2＋(t－2)x＋1－t>0恆成立，求實數x的取值範圍．
解：(1)∵f(x)＝f(4－x)，
∴函式f(x)的圖象關於直線x＝2對稱，
又∵函式f(x＋2)在[0，＋∞)上單調遞減，
∴函式f(x)在[2，＋∞)上單調遞減．
∴不等式f(3x)>f(2x－1)|3x－2|<|2x－1－2|(3x－2)2<(2x－3)2(5x－5)(x＋1)<0－1∴原不等式的解集為(－1,1)．
(2)令g(t)＝(x－1)t＋(x2－2x＋1)．
t∈(－1,1)時，不等式x2＋(t－2)x＋(1－t)>0恆成立，
即g(t)>0在t∈(－1,1)上恆成立．
當x≠1時，，
x≤0或x＝1或x≥2，
∴x≤0或x≥2.
當x＝1時，0>0，顯然不成立，∴x≠1，
綜上，x∈(－∞，0]∪[2，＋∞)．
12．(13分)(2011·廣東b)設b>0，數列滿足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：對於一切正整數n,2an≤bn＋1＋1.
解：(1)(ⅰ)若b＝1，則a1＝1，an＝(n≥2)
則＝＝1＋.
∴是首項為1，公差為1的等差數列，
∴＝n，∴an＝1.
(ⅱ)若b≠1，則＝，
∴＝＋·，
∴－＝，
∴數列是首項為－，公比為的等比數列，
∴－＝－·n－1，
∵＝－·n－1，
∴an＝.
(2)證明：當b＝1時，2an＝2≤2成立
當b≠1時，an＝＝
＝，要證2an≤bn＋1＋1，
只要證an≤，
只要證≤
即證2nb≤(bn＋1＋1).
∵(bn＋1＋1)
＝bn＋1＋bn＋…＋b2＋1＋＋＋
＝＋＋…＋(b2＋1)≥
＝2nb.[**:學科網zxxk]
∴2nb≤(bn＋1＋1)，
從而2an≤bn＋1＋1成立．
1 5 13一元二次不等式 線性規劃 基本不等式及其應用
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