一元二次不等式的解法及線性規劃
【知識梳理】
1．一元二次不等式的解法
(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項係數大於零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相應的一元二次方程的根．
(3)利用二次函式的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式與相應的二次函式及一元二次方程的關係
如下表：
乙個技巧
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的確定受a的符號、b2－4ac的符號的影響，且與相應的二次函式、一元二次方程有密切聯絡，可結合相應的函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，數形結合求得不等式的解集．若一元二次不等式經過不等式的同解變形後，化為ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其對應的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根x1，x2，(x1＜x2)(此時δ＝b2－4ac＞0)，則可根據「大於取兩邊，小於夾中間」求解集．
兩個防範
(1)二次項係數中含有引數時，引數的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項係數是否為零的情況；
(2)解含引數的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．
【課堂自測】1．(人教a版教材習題改編)不等式x2－3x＋2＜0的解集為( )．
a．(－∞，－2)∪(－1b．(－2，－1)
c．(－∞，1)∪(2d．(1,2)
解析 ∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.
故原不等式的解集為(1,2)．
答案 d
2．(2011·廣東)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )．
a. b．(1，＋∞)
c．(－∞，1)∪(2d.∪(1，＋∞)
解析 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
∴x＞1或x＜－.
故原不等式的解集為∪(1，＋∞)．
答案 d
3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )．
a. b.
c. d．r
解析 ∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，
∴9x2＋6x＋1≤0的解集為.
答案 b
4．(2012·許昌模擬)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集為，則ab＝
( )．
a．－28 b．－26 c．28 d．26
解析 ∵x＝－2，是方程ax2＋bx－2＝0的兩根，∴
∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.
答案 c
5．不等式ax2＋2ax＋1≥0對一切x∈r恆成立，則實數a的取值範圍為________．
解析當a＝0時，不等式為1≥0恆成立；
當a≠0時，須即
∴0＜a≤1，綜上0≤a≤1.
答案 [0,1]
考點一一元二次不等式的解法
【例1】已知函式f(x)＝解不等式f(x)＞3.
[審題視點] 對x分x≥0、x＜0進行討論從而把f(x)＞3變成兩個不等式組．
解由題意知或解得：x＞1.
故原不等式的解集為．
解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標準形式；(2)確定判別式δ的符號；(3)若δ≥0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若δ＜0，則對應的二次方程無根；(4)結合二次函式的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集．
【訓練1】 函式f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定義域為________．
解析依題意知
解得∴1≤x＜3.
故函式f(x)的定義域為[1,3)．
答案 [1,3)
考點二含引數的一元二次不等式的解法
【例2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈r)的解集．
[審題視點] 先求方程12x2－ax＝a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集．
解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得：x1＝－，x2＝.
①a＞0時，－＜，解集為；
②a＝0時，x2＞0，解集為；
③a＜0時，－＞，解集為.
綜上所述：當a＞0時，不等式的解集為；
當a＝0時，不等式的解集為；
當a＜0時，不等式的解集為.
解含引數的一元二次不等式的一般步驟：
(1)二次項若含有引數應討論是等於0，小於0，還是大於0，然後將不等式轉化為二次項係數為正的形式．
(2)判斷方程的根的個數，討論判別式δ與0的關係．
(3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關係，從而確定解集形式．
【訓練2】 解關於x的不等式(1－ax)2＜1.
解由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，
當a＝0時，x∈.
當a＞0時，由ax(ax－2)＜0，得a2x＜0，
即0＜x＜.
當a＜0時，＜x＜0.
綜上所述：當a＝0時，不等式解集為空集；當a＞0時，不等式解集為；當a＜0時，不等式解集為.
考點三不等式恆成立問題
【例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對一切實數x恆成立，求實數a的取值範圍．
[審題視點] 化為標準形式ax2＋bx＋c＞0後分a＝0與a≠0討論．當a≠0時，有
解原不等式等價於(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0對一切實數恆成立，顯然a＝－2時，解集不是r，因此a≠－2，
從而有整理，得所以
所以a＞2.
故a的取值範圍是(2，＋∞)．
不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全體實數(或恆成立)的條件是當a＝0時，b＝0，c＞0；當a≠0時，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實數(或恆成立)的條件是當a＝0時，b＝0，c＜0；當a≠0時，
【訓練3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈r)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恆成立，求a的取值範圍．
解法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函式圖象的對稱軸為x＝a.
①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恆成立，
只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
綜上所述，所求a的取值範圍為[－3,1]．
法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恆成立，
即δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
所求a的取值範圍是[－3,1]．
線性規劃
典型例題一
例1 畫出不等式組表示的平面區域．
分析：採用「**法」確定不等式組每一不等式所表示的平面區域，然後求其公共部分．
解：把，代入中得
∴ 不等式表示直線下方的區域（包括邊界），
即位於原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示．
說明：「**法」是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種方法．
典型例題二
例2 畫出表示的區域，並求所有的正整數解．
分析：原不等式等價於而求正整數解則意味著，還有限制條件，即求．
解：依照二元一次不等式表示的平面區域，知表示的區域如下圖：
對於的正整數解，先畫出不等式組．所表示的平面區域，如圖所示．
容易求得，在其區域內的整數解為、、、、．
說明：這類題可以將平面直角座標係用網路線畫出來，然後在不等式組所表示的平面區域內找出符合題設要求的整數點來．
典型例題三
例3 求不等式組所表示的平面區域的面積．
分析：本題的關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，判斷其形狀進而求出其面積．而要將平面區域作出來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論．
解：不等式可化為或；
不等式可化為或．
在平面直角座標系內作出四條射線
，， 則不等式組所表示的平面區域如圖
由於與、與互相垂直，
所以平面區域是乙個矩形．
根據兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和．
所以其面積為．
典型例題四
例1 若、滿足條件求的最大值和最小值．
分析：畫出可行域，平移直線找最優解．
解：作出約束條件所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內滑動時，由圖可知，直線過點時，取得最大值，當過點時，取得最小值．
說明：解決線性規劃問題，首先應明確可行域，再將線性目標函式作平移取得最值．
典型例題五
例5 用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出來，然後結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。
解：直線的斜率為：，其方程為．
可求得直線的方程為．直線的方程為．
的內部在不等式所表示平面區域內，同時在不等式所表示的平面區域內，同時又在不等式所表示的平面區域內（如圖）．
所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組表示．
說明：用不等式組可以用來平面內的一定區域，注意三角形區域內部不包括邊界線．
典型例題六
例6 已知，．求的最大、最小值．
分析：令，目標函式是非線性的．而可看做區域內的點到原點距離的平方．問題轉化為點到直線的距離問題．
解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和．
所以的最大、最小值分別是50和．
說明：題目中的目標函式是非線性的．解決的方法類似於線性規劃問題．可做出圖，利用圖進行直觀的分析．
典型例題七
例7 設式中的變數、滿足下列條件求的最大值．
分析：先作出不等式組所表示的可行域，需要注意的是這裡的，故只是可行域內的整數點，然後作出與直線平等的直線再進行觀察．
解：作出直線和直線，得可行域如圖所示．
1 5 13一元二次不等式 線性規劃 基本不等式及其應用
高考專題訓練十三 班級 姓名 時間 45分鐘分值 75分總得分 一 選擇題 本大題共6小題，每小題5分，共30分 在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上 1 2011 陝西 設0a ac a 解析 b a 0，2b b a，b a 答案 b 2 2011 福建 若a 0，b 0...
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