3.2一元二次不等式
三維目標
一、知識與技能
1.經歷從實際情境抽象出一元二次不等式模型的過程。
2.通過函式圖象了解一元二次不等式與相應函式、方程的聯絡。
3.會解一元二次不等式。
4.培養數形結合、分類討論、等價轉化的思想方法，培養抽象概括能力和邏輯思維能力；通過看圖象找解集，培養學生從「從形到數」的轉化力，「由具體到抽象」、「從特殊到一般」的歸納概括能力。
二、過程與方法
經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函式圖象**一元二次不等式與相應函式、方程的聯絡，獲得一元二次不等式的解法；
三、情感、態度與價值觀
1．激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇於創新的精神。
2．通過研究函式、方程與不等式之間的內在聯絡，使學生認識到事物是相互聯絡、相互轉化的，樹立辯證的世界觀。
二、教學重點與難點
教學重點:1.一元二次不等式的解法；
2.一元二次方程、一元二次函式與一元二次不等式三者之間的關係。
教學難點：一元二次方程、一元二次函式與一元二次不等式三者之間的關係。
三、教學方法與教學手段
教學方法：啟發式、發現法
教學手段:計算機輔助教學。
四、教學過程
（一）問題情境
用一根長為100m的繩子能圍成乙個面積大於600的矩形嗎？
由此引出課題(板書課題)。
分析：設矩形一邊的長為 x m (0根據題意得：x(50-x)>600
即 -50x+600<0
定義：只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的不等式叫做一元二次不等式.
問題：如何解一元二次不等式呢？
（二）推進新課
請同學們解一元二次不等式
（1） 是否存在 x的值，使得
y>0, y=0, y<0
無數個，兩個，無數個
（2） 當x為何值時，能使
y>0,y=0,y<0
結合影象分析，當x=-1或3時，，所以，方程的解就是函式影象與x軸交點的橫座標。
在x軸上方的影象都滿足y>0，所以的解在兩交點的兩邊，又因為影象與x軸交點的橫座標就是所對應的方程的解，所以，解在所對應方程的兩解之外，所以它的解x<-1或x>3;
在x軸下方的影象都滿足y<0,所以的解在兩交點之內，也就是在所對應的方程的兩解之內，所以它的解為-1（1） 滿足的x的取值範圍是:-1（2） 不等式的解集是：
（3） 解不等式必須先解出相應的二次方程的根，並畫出相應的二次函式的影象，根據影象求出一元二次不等式的解集。
根據求不等式的解集的過程，可以得到如下的結論：
結論：當函式影象開口向上，與x軸有2個交點時，不等式的解在影象與x軸的交點之外，也就是在方程的兩根之外；不等式的解在影象與x軸的交點之內，也就是在方程
的兩根之內。
解一開始的問題情境中的-50x+600<0。
（三）例題講解
例1解下列不等式（1）
2）3）
解：法一:方程的解為
根據二次函式的影象，
可得原不等式的解集為
法2：原不等式可化為(x-2)（2x+1）>0,
所以，原不等式的解集為
結論：二次函式可以寫成一般式，頂點式，交點式，寫成交點式立刻可以求到方程的根，從而得到函式的影象，根據影象求到不等式的解集。所以能寫成交點式即能分解因式，採用第二種方法還是挺方便的，一下子就可以找到方程的根。
（2）方程的解為1，根據二次函式的影象，可得原不等式的解集為。
（3）判別式，所以方程無解，由二次函式的影象可得，原不等式的解集為r。
問題：請各位同學思考一下解一元二次不等式的步驟？
第一步：求出方程的根；
第二步：確定函式的影象與x軸交點的橫座標，畫出函式影象；
第三步：根據影象確定所求不等式的解集。
例1中涉及到的函式影象與x軸分別有2個，1個，0個交點，而交點個數不同，結果也非常不同，函式影象與x軸的交點個數是通過控制的。由此可以得到：
當a>0時
一元二次方程、二次函式、一元二次不等式的相互關係及其解法：
例2.解不等式：
不等式的解集為
變式1： 不等式的解集為
變式2： 不等式的解集為
變式3：
解：不等式的解為，不等式的解為，所以原不等式組的解集為。
結論：做一元二次不等式的題目時，能分解因式的就分解因式做，如果不能，可以根據的符號確定函式的影象，根據影象確定不等式的解集；或者不能分解因式的，也可以配方做。
例3：已知不等式的解集是{x|3分析：一般地，解一元二次不等式時，什麼時候會出現x介於兩者之間？
只有當影象與x軸有2個交點時，才會出現x介於兩者之間，且這兩者就是一元二次不等式所對應的方程的根。故方程的兩個根為3，4.
解：法一：（代入法）
方程的兩個根為3，4， 把3，4代入方程，可得：
，解得。
法二：（利用根與係數的關係）
方程的兩個根為3，4，所以，
，解得(四)．練習與反饋
1. 求下列函式的定義域：
2.不等式的解集是
3.不等式的解集是
4.不等式的解集是
5.已知集合m=，n=，則
6.若不等式的解集是，則a= -6 b= 1
7.若函式對於一切實數x恆成立，求實數a的取值範圍？
分析：根據得到-68.求不等式(x-2)(x-a)<0的解集？
解：分析:方程(x-2)(x-a)=0的兩個根為2，a,
不知道哪個根大，所以要討論，可分為a<2,a=2,a>2三種情況討論。
解：當a<2時，不等式的解集為{x|a當a=2時，不等式的解集為；
當a<2時，不等式的解集為{x|2變式：求不等式的解集？
解：當，即m<-1或m>0時，不等式的解集為;
當，即m=-1或m=0時，不等式的解集為；
當，即-1五、課堂小結
1、一元二次方程, 二次函式,一元二次不等式之間有何關係?
2、如何求解一元二次不等式?
3、這節課你學到了什麼思想方法?
六、布置作業
課本69頁，1,2,3,4；課本71頁1,2,3
.備用題：
例4.已知函式
若不等式f(x)>0對一切成立，求實數m的取值範圍？
解：由題意得：f(x)的影象開口向上，與x軸沒有交點。
所以，解得，-2所以，實數m的取值範圍為-2變1.若存在，使得f(x)<0,求實數m的取值範圍？
解：由，解得m<-2或m>1.
變2：若函式的定義域為r，求實數k的取值範圍？
解：因為g(x)的定義域為r,所以，對於任意的x，都有恆成立，
所以，，解得，。
結論：恆成立
恆成立變題：若函式f(x)=的定義域為r，求實數k的取值範圍？
分析：由題意得，對於任意的，都有恆成立，
是形似一元二次不等式，所以要分k=0和k>0兩種情況考慮。
解：由題意得，對於任意的，都有恆成立，
當k=0時，恆成立；
當k>0時，，化簡得，，解得，，
因為k>0,所以
因為k=0符合題意，所以k得取值範圍為。
例5：求解不等式
解：方法一：不等式等價轉化為（1）或（2），
不等式（1）的解集為{x|-2 所以不等式的解集為{x|-2分式不等式的定義：分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式。
方法二：分析：分式不等式實際上就是說明分子x+2和分母x-1是異號的，拋開形式上的差異，在本質上與不等式(x+2)(x-1)<0是一樣的。
解：原不等式可轉化為(x+2)(x-1)<0，
可得-2所以，原不等式的解集為{x|-2變題：解不等式
問題：如果是分式不等式，是不是可以轉化為(x+2)(x-1) 0?
分析：不等式在轉化過程中要等價，而上述轉化就是不等價的。因為在中，只有分子x+2可以等於0，而分母x-1不能等於0。但在中，兩個因式都可以為0.
那應該怎麼辦呢？
將這個分式不等式轉化為整式不等式時，應將分母不為0這一因素考慮在內，因此分式不等式可等價轉化為。
對一元二次不等式教學設計的說明
本節課是新授課，首先我通過乙個生活中的例項引入課題，激發學生對本堂課的學習興趣。因為要學會解一元二次不等式，就要先通過函式影象了解一元二次不等式與相應函式、方程的聯絡，而一元二次方程、二次函式與一元二次不等式三者之間的關係是本節課的教學重點及難點。這個突出重點，突破難點的過程我是這麼解決的：
請同學們解一元二次不等式？
（3） 是否存在 x的值，使得y>0, y=0, y<0
無數個， 兩個，無數個
（4） 當x為何值時，能使y>0,y=0,y<0
結合影象分析，當x=-1或3時，，所以，方程的解就是函式影象與x軸交點的橫座標。
在x軸上方的影象都滿足y>0，所以的解在兩交點的兩邊，又因為影象與x軸交點的橫座標就是所對應的方程的解，所以它的解在兩根之外，為x<-1或x>3;
在x軸下方的影象都滿足y<0,所以的解在兩交點之內，也就是在所對應的方程的兩解之內，所以它的解為-1通過分為兩個小問題一步步解決這個教學重點及難點，從而讓學生學會解一元二次不等式。在這個過程中向學生滲透數形結合的思想方法，數學思想方法是指數學科學在千百年的發展過程中形成的提出、發現、論證和解決數學問題的思想體系、處理技巧與思維方法。
資訊科技在教學中的優勢主要表現在快捷的計算功能，豐富的圖形呈現與製作功能等，我使用現代資訊科技，發揮資訊科技的優勢能幫助學生更好地認識和理解數學並順利地解決數學中的難點問題，使學生看起來更直觀。
《新課標》強調在高中數學教學活動的師生互動。明確指出「必須關注學生的主體參與、師生互動」，所以我在教學中鼓勵學生積極參與數學教學活動，讓學生經歷「數學化」、「再創造」的活動過程，不斷地構造和完善認知結構的過程。
一元二次不等式教案詳細
2 當a 0時，一元一次不等式ax b 0解集是.問題2 二次函式y ax2 bx c x r 的部分對應值如下表 則ax2 bx c 0解集是 引導學生運用解決問題1的方法,畫出二次函式y ax2 bx c的圖象求解.並請學生說出不等式ax2 bx c 0的解集和方程ax2 bx c 0的解集,同...
一元二次不等式說課稿
唐鑫各位評委 老師 你們好！我是來自汽車專業部的唐鑫，今天我說課的課題是 一元二次不等式 選自高等教育出版社中等職業教育課程改革國家規劃新教材 數學 基礎模組 上冊第二章第三節的內容，下面我將圍繞本節課 教什麼？怎樣教？以及 為什麼這樣教？三個問題，將從教學內容的分析 教學目標的確定 教法與學法的選...
一元一次 一元二次不等式
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