【本講教育資訊】
一. 教學內容：
簡單的線性規劃
二. 重點、難點：
1. 二元一次不等式的區域
（1）在平面直角座標系中，所有的點被直線x＋y－1＝0分成三類，即點在直線上，點在直線的上方區域，點在直線的下方區域。
一般地，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角座標系中表示直線ax＋by＋c＝0某一側所有點組成的平面區域，我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線。注意：在座標系中畫不等式ax＋by＋c≥0所表示的平面區域時畫成實線。
（4）區域判斷方法是：特殊點法。
2. 線性規劃：
（1）約束條件、線性約束條件：變數x、y滿足的一組條件叫做對變數x、y的約束條件，如果約束條件都是關於x、y的一次不等式，則約束條件又稱為線性的約束條件。
（2）目標函式、線性目標函式：欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式，叫做目標函式。如果解析式是x、y的一次解析式，則目標函式又稱線性目標函式。
（3）線性規劃：求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題。
（4）可行域：滿足線性約束條件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。
（5）最優解：分別使目標函式取得最大值和最小值的解，叫做這個問題的最優解。
3. 解線性規劃應用問題的一般方法和步驟：
（1）理清題意，列出**。
（2）設好變元並列出不等式組和目標函式、約束條件。
（3）準確作圖，準確計算。
【典型例題】
例1.解：
小結：由於對在直線ax＋by＋c＝0的同一側的所有點（x，y），實數ax＋by＋c的符號相同，所以只須在此直線的某側任取一點（x0，y0），把它的座標代入ax＋by＋c，由其值的符號即可判斷ax＋by＋c＞0（或＜0）表示直線的哪一側，當c≠0時，常把原點作為此特殊點。此題也可先把不等式－x＋2y－4＜0化為x－2y＋4＞0，因為a＞0，b＜0，所以x－2y＋4＞0表示直線x－2y＋4＝0右下方的平面區域。
例2.解：不等式x＜3表示直線x＝3左側點的集合。
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直線x－2y＝0上及左上方點的集合。
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直線3x＋2y－6＝0上及右上方點的集合。
不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0表示直線x－3y＋9＝0右下方點的集合。
綜上可得：不等式組表示的平面區域為如圖所示的陰影部分。
小結：不等式組表示的平面區域是各個不等式表示的平面區域的公共部分，在畫這一部分區域時應注意其邊界的虛實。
例3.側的任意兩點，m1、m3（x3，y3）為直線l同側的任意兩點，求證：
證明：（2）∵m3、m1在l同側，而m1、m2在l異側，故m3、m2在l異側，利用（1）得：
小結：此例從理論上證明了二元一次不等式ax＋by＋c＞0，在平面直角座標系中表示直線ax＋by＋c＝0某一側所有點組成的平面區域。
例4.分析：原不等式等價於不等式組
作出以上不等式組所表示的平面區域，求出面積為2。
解：原不等式等價於不等式組
2 例5. 解下列線性規劃問題：求z＝2x＋y的最大值和最小值，式中的x、y滿足約束
分析：（1）畫出可行域；
（2）在可行域內找到最優解所對應的點；
（3）解方程的最優解，求出目標函式的最大值、最小值。
解：先作出可行域，如圖中△abc表示的區域，且求得
例6.值：
分析：同上例，同時應注意到x，y均為整數。
解：（1）先作出可行域，如圖中△abc表示的區域，且求得
最優解。
注意：（1）線性目標函式的最大值、最小值一般在可行域的頂點處或邊界上取得。
（2）求線性目標函式的最優解，要注意分析線性目標函式所表示的幾何意義。
例7. 某工廠生產甲、乙兩種產品。已知生產甲種產品1 t需耗a種礦石10 t、b種礦石5 t、煤4 t；生產乙種產品1 t需耗a種礦石4 t、b種礦石4 t、煤9 t。
每1 t甲種產品的利潤是600元，每1 t乙種產品的利潤是1000元。工廠在生產這兩種產品的計畫中要求消耗a種礦石不超過300 t、b種礦石不超過200 t、煤不超過360 t。甲、乙兩種產品應各生產多少（精確到0.
1 t），能使利潤總額達到最大？
分析：將已知資料列成下表：
解：設生產甲、乙兩種產品分別為x t、y t，利潤總額為z元，那麼
小結：解線性規劃應用問題的一般方法和步驟：（1）理清題意，列出**；（2）設好變元並列出不等式組和目標函式；（3）準確作圖，準確計算。
例8. 要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少。
解：設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
且x，y都是整數，求目標函式z＝x＋y取得最小時的x、y的值。
可得x＝3，y＝9和x＝4，y＝8。
小結：本題尋找整點最優解的方法是利用平移找解。
注意：解本題的關鍵所在是如何找整點（最優解）。
例9. 某木器廠生產圓桌和衣櫃兩種木料，第一種有72公尺3，第二種有56公尺3，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產一張圓桌和乙個衣櫃分別所需木料如下表所示，每生產一張圓桌可獲利潤6元，生產乙個衣櫃可獲利潤10元，木器廠在現有木料條件下，圓桌和衣櫃各生產多少，才使獲得的利潤最多？
解：設生產圓桌x只，生產衣櫃y個，利潤總額為z元，則
而z＝6x＋10y
上述不等式組所表示的平面區域如圖所示，作直線l0：6x＋10y＝0，即3x＋5y＝0，平移l0，當l0平移至過可行域內點m時，此時z＝6x＋10y取得最大值。
即生產圓桌350只，生產衣櫃100個，能使利潤最大。
小結：本題考查二元一次不等式平面區域的知識，線性規劃是求最優化的常用方法。
【模擬試題】
1. 畫出不等式表示的平面區域。
2. 畫出不等式組表示的平面區域。
3. 不等式表示的平面區域包含點（0，0）和點（），則m的取值範圍是
4. 不等式表示的區域內的點的橫座標、縱座標都是整數的有個。
5. 畫出不等式組表示的平面區域，並求其面積。
6. 設，且，求的取值範圍。
【試題答案】
1. 分析：（1）先畫直線（畫成虛線）；（2）判斷區域，表示出區域。
解：先畫直線（畫成虛線）
取原點（0，0），代入
因為，所以原點在表示的平面區域內，不等式表示的區域如圖所示。
2. 分析：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。
解：不等式表示直線上及右下方的點的集合，表示直線上及右上方的點的集合，表示直線上及左方的點的集合。
所以，不等式組表示的平面區域如圖：
3.解析：表示的平面區域包含點（0，0）和（-1，1）
解得：4. 13
解析：點、，都在不等式表示的區域內。
5. 解：不等式組表示的平面區域如圖所示，為三角形abc
由得：由得：
由得：∵ab邊與y軸平行
，點c到邊ab的距離：
6. 解：
∴a、b滿足
在直角座標系aob中作出上面的不等式組所表示的平面區域（如圖所示），即可行域（四邊形abcd的邊界或其內部）。
作直線，即直線
把直線平移至的位置時，直線經過可行域上的點b，且與原點的距離最大；把直線平移至的位置時，直線經過可行域上的點d，且與原點的距離最小。
由得：b點的座標為（3，1）
由得：d點的座標為
的最大值為
的最小值為為所求
高二數學簡單的線性規劃問題
3.3.3簡單的線性規劃問題 一 我來學習 1.線性目標函式 線性約束條件 線性規劃問題 可行解 可行域 最優解的概念 2.能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題 3.簡單的二元線性規劃問題的解法.我來 一.引人 某工廠生產甲 乙兩種產品，生產1甲種產品需要種原料4 種原料12，產生的利潤為...
高二數學簡單的線性規劃問題
3.3.3簡單的線性規劃問題 三 我來學習 熟練掌握簡單的二元線性規劃問題中求最優解的方法及步驟 我來應用 一 知識點回顧 線性約束條件 線性目標函式 線性規劃問題 可行解 可行域和最優解 叫可行解 叫做可行域 叫線性規劃問題的最優解 二 解簡單的線性規劃問題要注意 1.準確作出可行域 2.理解目標...
簡單的線性規劃
教學目標 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可行域以及最優解等基本概念 3 了解線性規化問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 4 培養學生觀察 聯想以及作圖的能力，滲透...