要點導學各個擊破
畫函式的圖象
根據所給定義域,畫出函式y=x2-2x+2的圖象.
(1) x∈r; (2) x∈(-1,2]; (3) x∈(-1,2]且x∈z.
[思維引導]通過配方找出函式的對稱軸和頂點,同時要注意函式的定義域.
[解答]
(例1)
已知函式y=2|x|.
(1) 作出其圖象;
(2) 由圖象指出單調區間;
(3) 由圖象指出:當x取何值時,函式有最小值?最小值為多少?
[解答](1) 函式的圖象如圖所示.
(變式)
(2) 單調減區間為(-∞,0),單調增區間為[0,+∞).
(3) 由圖象可知,當x=0時,函式取到最小值ymin=1.
函式圖象的變換
說明指數函式y=3x的圖象經過怎樣的變換,可以得到以下函式的圖象:
(1) y=3x+1+2;
(2) y=3-x+2;
(3) y=3-x-1+2.
[思維引導]嚴格遵循函式圖象的「左加右減,上加下減」原則以及相應的對稱原則.
[解答](1) 將指數函式y=3x的圖象向左平移1個單位長度,就得到函式y=3x+1的圖象;再把函式y=3x+1的圖象向上平移2個單位長度,就得到函式y=3x+1+2的圖象.
(2) 將指數函式y=3x的圖象向上平移2個單位長度,就得到函式y=3x+2的圖象;再作出與函式y=3x+2的圖象關於y軸對稱的圖象,就得到函式y=3-x+2的圖象.
(3) 將指數函式y=3x的圖象向右平移1個單位長度,就得到函式y=3x-1的圖象;再作出與函式y=3x-1的圖象關於y軸對稱的圖象,就得到函式y=3-x-1的圖象;最後,將函式y=3-x-1的圖象向上平移2個單位長度,就得到函式y=3-x-1+2的圖象.
[精要點評]平移原則有:
(1) y=f(x-a)(a>0 )的圖象可由y=f(x)的圖象沿x軸向右平移a個單位長度得到;y=f(x+a)(a>0 )的圖象可由y=f(x)的圖象沿x軸向左平移a個單位長度得到;
(2) y=f(x)±h(h>0)的圖象可由y=f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移h個單位長度得到.
對稱原則有:
(1) y=f(x)與y=f(-x)的圖象關於y軸對稱;
(2) y=f(x)與y=-f(x)的圖象關於x軸對稱;
(3) y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關於原點對稱.
(2014·張家港模擬)已知函式y=f(x+1)的圖象過點(3,2),那麼函式f(x)的圖象關於x軸的對稱圖形一定過點 .
[答案](4,-2)
[解析]因為函式y=f(x+1)的圖象過點(3,2),所以函式f(x)的圖象過點(4,2),又因為(4,2)關於x軸的對稱點為(4,-2),所以函式f(x)的圖象關於x軸的對稱圖形一定過點(4,-2).
函式圖象的應用
已知關於x的方程|x2-4x+3|=mx有四個不相等的實數根,求實數m的取值範圍.
[思維引導]數形結合是數學中非常重要的思想方法,利用函式的圖象可解決判斷方程解的個數、求方程的近似解等問題.如果能夠求出方程的解,利用函式圖象進而可求對應不等式的解.
[解答]設f(x)=|x2-4x+3|,
則f(x)=
作出函式的圖象(如圖所示).
(例3)
若方程|x2-4x+3|=mx有四個不相等的實數根,則直線l:y=mx應介於x軸與曲線y=-x2+4x-3的切線y=kx之間.
由化簡得x2+(k-4)x+3=0,
當δ=(k-4)2-12=0時,k=4±2,根據圖象知k=4-2.
故實數m的取值範圍為(0,4-2).
[精要點評]從常見函式的圖象入手,巧妙地運用圖象與不等式(方程)之間的關係,將不等式(方程)轉化為求函式圖象的交點問題,數形結合是解決此類題的有效方法.
(2014·蒙城模擬)對於每乙個實數x,f(x)取4-x,x+2,3x三個值中最小的值,則f(x)的最大值為 .
[答案]3
[解析]在同一座標系中畫出y=4-x,y=x+2,y=3x三個函式的圖象如圖所示,實線為f(x)的圖象,易知f(x)的最大值為3.
(變式)
1. 如圖,根據函式y=f(x)的圖象,此函式的單調減區間是 ,單調增區間是 .
(第1題)
[答案][-1,0),[11),[0,1)
2. 函式f(x)=lnx的圖象與函式g(x)=x2-4x+4的圖象的交點個數為 .
(第2題)
[答案]2
[解析]作出f(x)=lnx與g(x)=x2-4x+4的圖象如圖所示,由圖象知,兩函式有2個交點.
3. 函式y=的圖象的對稱中心是 .
[答案](-2,3)
[解析]y==3-.
4. 已知定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)的函式f(x)是偶函式,並且在(-∞,0)上是單調增函式.若f(-3)=0,則不等式<0的解集是 .
(第4題)
[答案](-3,0)∪(3,+∞)
[解析]畫出函式f(x)的大致圖象如圖所示,
則有或所以x∈(-3,0)∪(3,+∞).
[溫馨提醒]
趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第15-16頁).
19 1 3函式的圖象導學案
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一次函式的圖象導學案二
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