第三節平面向量的數量積課時作業
一、選擇題
1．(2023年全國卷)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|＝( )
ab.c．5d．25
2．(2023年寧夏海南卷)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數λ的值為( )
ab.cd.
3．(2023年東城統測)已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，
|2a＋b|＝，則a與b的夾角為( )
a．30b．45°
c．60d．90°
4．(2023年廣東省實驗中學月考)設a，b是非零向量，若函式
f(x)＝(x a＋b)·(a－x b)的圖象是一條直線，則必有( )
a．a⊥bb．a∥b
c．|a|＝|bd．|a|≠|b|
5．在△abc中，已知向量與滿足·＝0且·＝，則△abc為( )
a．三邊均不相等的三角形 b．直角三角形
c．等腰非等邊三角形d．等邊三角形
二、填空題
6．(2023年江蘇卷)已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝，則向量a和向量b的數量積a·b
7．(2023年江西卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b則k
8．若向量a、b的夾角為150°，＝，＝4，則
三、解答題
9．(2023年福州模擬)已知向量a＝，b＝，且x∈，
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
10．(2023年博興月考)已知a＝，b＝，其中0<α<β<π.
(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；
(2)若ka＋b與ka－b(k≠0)的長度相等，求β－α.
參***
1．解析：由|a＋b|＝5知(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝50，得|b|＝5，選c.
答案：c
2．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因為兩個向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－，故選a.
答案：a
3．c4．解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)＝－a·bx2＋(|a|2－|b|2)x＋a·b，若函式f(x)的圖象是一條直線，即其二次項係數為0，∴a·b＝0a⊥b.
答案：a
5．解析：非零向量與滿足·＝0，即角a的平分線垂直於bc，∴ab＝ac，
又cos a＝·＝，∴∠a＝，所以△abc為等邊三角形，選d.
答案：d
6．解析：a×b＝2××＝3.
答案：3
7．解析：因為a－c＝(3－k，－1)，且(a－c)⊥b，
∴(3－k)×1＋(－1)×3＝0所以k＝0.
答案：0
8．解析：＝＝＝＝2.
答案：2
9．解析：(1)a·b＝cos x·cos－sin x·sin＝cos 2x，
|a＋b|＝＝＝2.
∵x∈，∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x，即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2，
∵x∈，∴0≤cos x≤1.
①當λ<0時，當且僅當cos x＝0時，f(x)取得最小值－1，這與已知矛盾；
②當0≤λ≤1時，當且僅當cos x＝λ時，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；
③當λ>1時，當且僅當cos x＝1時，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，
這與λ>1相矛盾，綜上所述，λ＝為所求．
10．解析：(1)證明：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋b·a－b2
＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－
＝1－1＝0，
所以a＋b與a－b互相垂直．
(2)ka＋b＝，
ka－b＝，
所以|ka＋b|＝，
|ka－b|＝，
因為|ka＋b|＝|ka－b|，
所以k2＋2kcos＋1＝k2－2kcos＋1，
有2kcos＝－2kcos，
因為k≠0，故cos＝0，
又因為0<α<β<π，0<β－α<π，
所以β－α＝.
學案3 平面向量的數量積
2.4.3平面向量的數量積 平面向量數量積的物理背景及其含義 教學目標 1.理解平面向量數量積的概念 2.掌握兩向量夾角的概念及其取值範圍 3.掌握兩向量共線及垂直的充要條件 4.掌握向量數量積的性質。教學重 難點 向量數量積及其重要性質。教學過程 一 複習引入 1.向量的夾角 夾角範圍 2.物理課...
專題平面向量的數量積
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平面向量的數量積教案
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