一、選擇題
1．已知數列的前n項和為sn＝an－1(a為不為零的實數)，則此數列( )
a．一定是等差數列
b．一定是等比數列
c．或是等差數列或是等比數列
d．既不可能是等差數列，也不可能是等比數列
2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)，則數列的通項公式an＝( )
a．2n－1 b. n－1
c．n2d．n
3．(2023年巴蜀聯考)如果數列滿足a1，，，…，，…是首項為1，公比為2的等比數列，則a100＝( )
a．2100b．299
c．25050d．24950
4．(2023年長沙月考)數列滿足a1＝2，an＋1＝－，則a2009＝( )
a．2bcd．1
5．(2023年撫州一中模擬)已知數列滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，記sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則下列結論正確的是( )
a．a2008＝－a，s2008＝2b－a
b．a2008＝－b，s2008＝2b－a
c．a2008＝－b，s2008＝b－a
d．a2008＝－a，s2008＝b－a
二、填空題
6．已知數列滿足a1＝1，an＋1＝，則an
7．已知數列滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n，則an
8．(2023年朝陽一模)設函式f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，數列滿足f(1)＝n2an(n∈n*)，則數列的通項an
三、解答題
9．設曲線y＝x2＋x＋1－ln x在x＝1處的切線為l，數列中，a1＝1，且點(an，an＋1)在切線l上．
(1)求證：數列是等比數列，並求an；
(2)求數列的前n項和sn.
10．(2023年陝西)已知數列滿足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈n.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：是等比數列：
(2)求的通項公式．
參***
1．解析：n＝1時，a1＝s1＝a－1；n≥2時，an＝sn－sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)＝an－1(a－1)．
①當a＝1時，an＝0，數列的通項公式an＝0，是等差數列，但不是等比數列；
②當a≠1時，∵a≠0，數列的通項公式an＝(a－1)·an－1，是等比數列，但不是等差數列，選c.
答案：c
2．解析：由an＝n(an＋1－an)(n＋1)an＝nan＋1＝，
∴＝，＝，…，＝(n≥2)
相乘得：＝n，又a1＝1，∴an＝n.選d.
答案：d
3．解析：由題設知：a1＝1，＝2n－1(n≥2)，
∴＝21，＝22，…，＝2n－1，相乘得：
＝21·22·23…2n－1＝2，an＝2，a100＝24950.
答案：d
4．解析：由a1＝2，an＋1＝－a2＝－＝－
a3＝－＝－，a4＝－＝2，a5＝－，
a6＝－，…故數列具有週期性，a3n－2＝2，a3n－1＝－，a3n＝－.∵2009＝3×669＋2，∴a2009＝a2＝－.
答案：b
5．解析：由an＋1＝an－an－1(n≥2)a3＝a2－a1＝b－a，
a4＝a3－a2＝b－a－b＝－a，
a5＝a4－a3＝－a－(b－a)＝－b，
a6＝a5－a4＝－b－(－a)＝a－b
a7＝a6－a5＝a－b－(－b)＝a.
故數列具有週期性，a6n＋1＝a1，
a6n＋2＝a2，a6n＋3＝b－a，a6n＋4＝－a，a6n＋5＝－b，a6n＝a－b.
且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0.∵2008＝6×334＋4.
∴a2008＝a4＝－a，s2008＝a1＋a2＋a3＋a4＝2b－a.故選a.
答案：a
6．解析：由an＋1＝＝＋3，又a1＝1，
∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，an＝.
答案：7．解析：由an＋1＝2an＋2n＝＋，又a1＝1
∴＝＋(n－1)·＝，an＝n·2n－1.
答案：n·2n－1
8．解析：a1＝f(0)＝，a1＋a2＋…＋an＝f(1)＝n2·an
當n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2·an－1兩式相減得：
an＝n2·an－(n－1)2·an－1＝.
相乘得：＝，又a1＝，∴an＝.
答案：9．解析：(1)由y＝x2＋x＋1－ln x，知x＝1時，y＝3.
又y′|x＝1＝2x＋1－|x＝1＝2，
∴切線l的方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
∵點(an，an＋1)在切線l上，
∴an＋1＝2an＋1,1＋an＋1＝2(1＋an)．
又a1＝1，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，
∴1＋an＝2·2n－1，即an＝2n－1(n∈n*)．
(2)sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝2＋22＋…＋2n－n＝2n＋1－2－n.
10．解析：(1)證明：b1＝a2－a1＝1，
當n≥2時，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1，
所以是以1為首項；－為公比的等比數列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，
當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋…＋n－2
＝1＋＝1＋
＝－n－1，
當n＝1時，－n－1＝1＝a1，
所以an＝－n－1.
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