排列與組合 2

第14章第2講

一、選擇題

1．(2008·上海卷)組合數cnr(n＞r≥1，n、r∈z)恆等於(　　)

a. cn－1r－1b．(n＋1)(r＋1)cn－1r－1

c．nrcn－1r－1 d. cn－1r－1

[解析]　∵cnr＝

＝＝cn－1r－1，故選d.

[答案]　d

2．將編號為1,2,3,4,5的五個球放入編號為1,2,3,4,5的五個盒子裡，每個盒子內放乙個球，若恰好有三個球的編號與盒子編號相同，則不同投放方法的種數為(　　)

a．6　　　 b．10

c．20　　　 d．30

[解析]　先選出3個球放入與其編號相同的三個盒子內，有c53種方法，剩餘的兩個球只能交錯放入不同編號的盒子內，只有一種方法．∴共有c53·1＝10種方法．

[答案]　b

3．(2009·湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同乙個班，則不同分法的種數為(　　)

a．18　　　 b．24

c．30　　　 d．36

[解析]　用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在乙個班的種數是c42，順序有a33種，而甲乙被分在同乙個班的有a33種，所以種數是c42a33－a33＝30.

用分步法解答：第一步分成三組2,1,1，有c42種分法，其中排除甲、乙兩名學生在同一組，所以第一步共有(c42－1)種方法，第二步將三組分到三個不同的班，共有a33種分法，由乘法原理可得共有(c42－1)·a33＝30種分法．

[答案]　30

4．(2009·四川卷)2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是(　　)

a．60　　　 b．48

c．42　　　 d．36

[解析]　解法一：從3名女生中任取2人「捆」在一起記作a，(a共有c32a22＝6種不同排法)，剩下一名女生記作b，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在a、b之間(若甲在a、b兩端，則為使a、b不相鄰，只有把男生乙排在a、b之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求)此時共有6×2＝12種排法(a左b右和a右b左)最後再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法．

解法二：同解法一，從3名女生中任取2人「捆」在一起記作a，(a共有c32a22＝6種不同排法)，剩下一名女生記作b，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：

第一類：女生a、b在兩端，男生甲、乙在中間，共有6a22a22＝24種排法；

第二類：「**」a和男生乙在兩端，則中間女生b和男生甲只有一種排法，此時共有6a22＝12種排法．

第三類：女生b和男生乙在兩端，同樣中間「**」a和男生甲也只有一種排法．此時共有6a22＝12種排法．

三類之和為24＋12＋12＝48種．

[答案]　b

5．(2008·遼寧)一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有(　　)

a．24種 b．36種

c．48種 d．72種

[解析]　若第1道工序安排甲，則第四道工序只能安排丙，其餘兩道工序有a42＝12種方法；若第1道工序安排乙，則第四道工序可以從甲、丙兩人中選1個有c21種，其餘工序有a42種方法，因此共有c21a42＝24(種)．所以滿足條件的不同選法有12＋24＝36(種)．

[答案]　b

6．(2010·廣東，8)為了迎接2023年廣州亞運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定．每個彩燈只能閃亮燈、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同．記這5個彩燈有序地各閃亮一次為乙個閃爍．在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有乙個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒．如果要實現所有不同的閃爍，那麼需要的時間至少是(　　)

a．1205 秒 b．1200秒

c．1195秒 d．1190秒

[解析]　由題意知，共有a55＝120個不同的閃爍，而每乙個閃爍要完成5個閃亮需用時5秒鐘，共用120×5＝600秒，每兩個閃爍之間需間隔5秒鐘，共有120－1＝119個閃爍間隔，用時119×5＝595秒，故總用時600＋595＝1195秒．故選c.

[答案]　c

二、填空題

7．(2008·全國ⅱ文)從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有________種(用數字作答)

[解析]　從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，選出的3名同學中既有男同學又有女同學包括兩種情況：1男2女和2男1女，因此共有c101c62＋c102c61＝420(種)．

[答案]　420

8．有8本互不相同的書，其中數學書3本，外文書2本，其它書3本．將這些書排成一排放在書架上，那麼數學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起，並且數學書與外文書不相鄰的排法共有________種．

[解析]　分別把3本數學書，2本外文書看成乙個整體，當成乙個元素，在其它類別的3本書排好之後的兩端及之間的間隙取兩個位置，讓它們排，共有a33a42a33a22＝864種不同排法．

[答案]　864

9．安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有________種．(用數字作答)

[解析]　分配的方案分兩類：①3名教師分2組去2所學校有c32·c11·a62＝90(種)②3名教師分3組去3所學校有a63＝120(種)，故分配方案90＋120＝210(種)．

[答案]　210

10．平面α內有四個點，平面β內有五個點，從這九個點中任取三個，最多可確定________個平面，任取四點，最多可確定________個四面體．(用數字作答)

[解析]　從平面α內取3點或從平面β內取3個點，都可確定乙個平面，共2個．

從平面α內取一點，從平面β內取2點，最多可確定c41·c52＝40個平面．

從平面α內取兩點，從平面β內取一點，最多可確定c42·c51＝30個平面，

∴最多可確定2＋40＋30＝72個平面．

四面體中的四個點只能分別在α和β內，

當α內取1個，β內取3個時，最多可確定c41·c53＝40個，

當α內取2個，β內取2個時，最多可確定c42·c52＝60個，

當α內取3個，β內取1個時，最多可確定c43·c51＝20個，

最多可確定四面體40＋60＋20＝120個．

[答案]　72　120

三、解答題

11．從6名短跑運動員中選4人參加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種參賽方法？

[解]　問題分成三類：(1)甲、乙二人均不參加，有a44種

(2)甲、乙二人有且僅有1人參加，有2c43(a44－a33)種

(3)甲、乙二人均參加，有c42(a44－2a33＋a22)種

故共有252種．

12．在乙個正方體中，各稜、各面對角線和體對角線共28條線段所在的直線中，共有多少對異面直線？

[分析]　本題是組合與立體幾何結合的綜合題．可以先畫出幾何圖形，根據異面直線的定義和判斷方法採用直接法或間接法解決．

[解]　解法一：(間接法)底面、側面和對角面共12個面的每一面中任兩條直線不能構成異面直線；8個頂點中過每個頂點的三條面對角線不能構成異面直線，故共有c282－12c62－8c32＝174對異面直線．

解法二：由於乙個三稜錐的6條稜中有且只有三對異面直線，而乙個正方體的8個頂點中任取4個點有c84種方法，其中底面、側面、對角面共12個面中的每個麵內的4個頂點不能構成三稜錐，故由乙個正方體的8個頂點可構成c84－12＝58個三稜錐．所以乙個正方體共有3(c84－12)＝3×58＝174對異面直線．

解法三：(直接法)將正方體的各稜、各面對角線和體對角線共28條直線分成六類：

(1)稜與稜所在直線可構成＝24對異面直線；

(2)稜與面對角線可構成6×12＝72對異面直線；

(3)稜與體對角線可構成2×12＝24對異面直線；

(4)面對角線與面對角線可構成＝30對異面直線；

(5)面對角線與體對角線可構成4×6＝24對異面直線；

(6)體對角線與體對角線均交於一點，不能構成異面直線．

根據分類加法計數原理，共可構成24＋72＋24＋30＋24＝174對異面直線．

親愛的同學請寫上你的學習心得

1．解排列、組合混合題一般是先選元素、後排元素、或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本原理作最後處理．

2．對於較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏．

3．對於選擇題要謹慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可採用排除法分析答案的形式，錯誤的答案都是犯有重複或遺漏的錯誤．

4．對於分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對於平均分組問題更要注意順序，避免計數的重複或遺漏．還要注意均勻分組與不均勻分組的區別，均勻分組不要重複計數．

排列與組合 2

《排列與組合》的說課稿

數學廣角排列與組合教學反思

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