●課題●教學目標
(一)知識目標
1.實數與向量的積的定義；
2.實數與向量的積的運算律；
3.兩向量共線的充要條件.
(二)能力目標
1.掌握實數與向量積的定義，理解實數與向量積的幾何意義；
2.掌握實數與向量的積的運算律；
3.理解兩個向量共線的充要條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.
●教學重點
1.實數與向量積的定義；
2.實數與向量積的運算律；
3.兩個向量共線的充要條件.
●教學難點
對向量共線的充要條件的理解.
●教學方法
啟發引導式
實數與向量的積的定義可以看作是數與數的積的概念的推廣.啟發學生在掌握向量加法的基礎上，學習實數與向量的積的概念及運算律，引導學生從特殊歸納到一般.
在學習實數與向量的積的運算律時，應啟發學生尋求其與代數運算中實數乘法的運算律的相似性，但應注意它們之間的區別，從而掌握實數與向量的積及其應用.
●教具準備
投影儀、幻燈片
●教學過程
ⅰ.複習回顧
師：前面兩節課，我們一起學習了向量加減法運算.這一節，我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及其推廣.
ⅱ.講授新課
師：在代數運算中，ａ＋ａ＋a＝３ａ,故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法，所以相同向量的求和運算也有類似的簡便計算.
已知非零向量ａ，我們作出ａ＋ａ＋ａ和
由圖可知我們把ａ＋ａ＋ａ記作3ａ，即＝３ａ，顯然3ａ的方向與ａ的方向相同，3ａ的長度是ａ的長度的3倍，即
｜3ａ｜＝３｜ａ｜.
同樣，由圖可知我們把(－ａ)＋
（－ａ）＋（－ａ）記作－３ａ，即＝－３ａ，顯然－３ａ的方向與ａ的方向相反，－３ａ的長度是ａ的長度的3倍，即
上述過程推廣後即為實數與向量的積.
1.實數與向量的積
實數λ與向量ａ的積是乙個向量，記作λａ，其長度和方向規定如下：
(1(2)當λ＞０時，λａ與ａ同向；
當λ＜０時，λａ與ａ反向；
當λ＝０時，λａ＝0.
師：根據實數與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律.
2.實數與向量的積的運算律
(1(2
(3說明：對於運算律的驗證要求學生通過作圖來進行.
3.向量ｂ與非零向量ａ共線的充要條件是有且只有乙個實數λ，使ｂ＝λａ.
說明：(1)推證過程引導學生自學；
(2)可讓學生思考把「非零向量」的「非零」去掉後，原充要條件是否正確，目的是通過0與任意向量的平行來加強學生對於充要條件的認識.
師：下面我們通過例題分析來進一步熟悉向量與實數積的定義、運算律及兩向量共線的充要條件的應用.
［例1］若3其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.
分析：此題可把已知條件看作向量ｍ、ｎ的方程，通過方程組的求解獲得ｍ、ｎ.
解：記3ｍ＋2ｎ＝ａ①
ｍ－３ｎ＝ｂ②
3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③
①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.
∴ｎ＝ａ－ｂ④
將④代入②有
評述：在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.
［例2］凸四邊形abcd的邊ad、bc的中點分別為e、f，求證＝(+).
解法一：構造三角形，使ef作為三角形中位線，借助於三角形中位線定理解決.
過點c在平面內作＝，則四邊形abgc是平行四邊形，故f為ag中點.
∴ef是△adg的中位線，∴ef ?,
∴＝.而＝＋＝＋，
∴＝（＋）.
解法二：創造相同起點，以建立向量間關係
如圖，連eb，ec，則有＝＋，
＝＋，又∵e是ad之中點，
∴有＋＝0.
即有＋＝＋；
以與為鄰邊作平行四邊形ebgc，則由f是bc之中點，可得f也是eg之中點.
ⅲ.課堂練習
課本ｐ105練習1，2，3，4.
ⅳ.課時小結
師：通過本節學習，要求大家掌握實數與向量的積的定義，掌握實數與向量的積的運算律，理解兩個向量共線的充要條件，並能在解題中加以運用.
ⅴ.課後作業
(一)課本ｐ107習題5.3 1，2，3，4
(二)1．預習p105～ｐ107
2．預習提綱：
(1)平面向量基本定理.
(2)定理的應用有哪些？
●板書設計
●備課資料
1.錯例分析
［例1］判斷向量ａ＝－２e與ｂ＝２e是否共線?
對此題，有同學解答如下：
解：∵ａ＝－２e，ｂ＝２e，∴ｂ＝－ａ，∴ａ與ｂ共線.
分析：乍看上述解答，真是簡單明快.然而，仔細研究題目已知，卻發現
其解答存有問題，這是因為，原題已知中，對向量e並無任何限制，那麼就應允許e＝0，而當e＝0時，顯然ａ＝0，ｂ＝0，此時，ａ不符合定理中的條件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能應用定理來判斷它們是否共線.可見，對e＝0的情況應另法判斷才妥.
綜上分析，此題應解答如下：
解：(1)當e＝0時，則ａ＝－２e＝0
由於「零向量與任一向量平行」且「平行向量也共線向量」，所以，此時ａ與ｂ共線.
(2)當e≠0時，則ａ＝－２e≠0，ｂ＝２e≠0
∴ｂ＝－ａ(這時滿足定理中的ａ≠0，及有且只有乙個實數λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)
∴ａ與ｂ共線.
綜合(1)、(2)可知，ａ與ｂ共線.
2.用向量法解決幾何問題
向量是數學中重要概念之一，是解決數學問題的得力工具，它簡潔明快，許多幾何裡的命題，如果用向量知識來解決就顯得格外簡練.
［例2］如圖，mn是△abc的中位線，求證：mn＝bc，且mn∥bc.
證明：∵m、n分別是ab、ac邊上的中點，所以
因此，ｎｍ＝ｂｃ且ｍｎ∥bc.
●教學後記
空間向量的數量積
教學目標 1 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法 2 掌握兩個向量的數量積的計算方法，並能利用兩個向量的數量積解決立體幾何中的一些簡單問題。教學重 難點 空間數量積的計算方法 幾何意義 立體幾何問題的轉化。教學過程 一 知識講解 1 空間向量的夾角及其表示 已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫...
空間向量的數量積
教材 全日制普通高階中學教科書 必修 第二冊 下b 第九章第五節 空間向量及其運算 p32 教學目標 1 知識與技能 在充分了解平面向量的概念 運算及空間向量的概念 向量的加 減以及數乘向量等運算基礎上,進一步模擬 並獲得空間向量的數量積的定義 性質並掌握空間向量數量積的應用.2 過程與方法 體會數...
向量的數量積教學設計
2.3.1向量數量積的物理背景與定義 教材說明 平面向量數量積具有代數與幾何的雙重性質，因此所涉及的內容較為廣泛，如方程 不等式等代數問題 夾角 距離 面積 平行 垂直等幾何問題。平面向量數量積是數學中知識與能力的載體，是數學上的乙個重要工具之一，值得一提的是在教材的後續兩章的學習中，對三角函式內容...