研究性學習：函式的最值
——初高中銜接內容
丹陽市橫塘中學陳華榮
一、教學目標：
1.知識與技能：了解函式的最值和探索問題的方法．
2.過程與方法：通過「觀察──猜想──證明──遷移」一系列的**活動，培養學生的觀察、分析、歸納的能力和不斷發現、探索事物發展的本質的精神,學會「由特殊到一般，再由一般到特殊」 的**問題的方法．
3.情感態度與價值觀：通過創設「問題串」 ，利用多種教學手段，激發學生探索和發現問題的慾望，給學生創造成功的機會，激發學生的思維活力．
二、教學重點難點：
1.重點：了解函式的最值及應用．
2.難點：探索的問題方法．
三、教學方法：綜合選用「四步八自」課堂教學模式和「問題串」式教學設計．
四、教學手段：幾何畫板輔助
五、教學過程設計
（一）引言：函式是許多問題可以歸結的乙個模型，了解這類函式的最值，可以提高我們解決這類問題的能力．
（二）問題**：觀察函式的關係式，回答下列問題。
(1)自變數x的取值範圍是
(2)估計影象大致在第象限，影象與x軸、y軸有交點嗎？
(3)畫影象，觀察影象回答：該函式有最大值或最小值嗎？
(4)當x>0時，該函式有最大(小)值嗎?
(5)證明:函式有最小值.
（學法指導：解乙個新問題一般有兩種策略：一是看解決老問題的方法是否能解決新問題，二是能否把新問題直接化為老問題，運用已經掌握的結論解決新問題．）
(6)猜想: 函式有最值嗎？
結論:函式有最小值，可用配方法來求．
（三）自主練習：
1．求函式(x>0)的最小值.
2．自編自練：請你按所學的函式模型自編一題，並求出結果.
（四）中考巡題
例 （2009肇慶）如圖 ，的直徑和是它的兩條切線，切於e，交am於d，交bn 於c．設．
（1）求證：；
（2）求關於的關係式；
（3）求四邊形的面積s ，並證明：s≥2．
例 （2009彬州）如圖，已知正比例函式和反比例函式的影象都經過點m（－2，－1）． （1）寫出正比例函式和反比例函式的關係式；（2）如圖，點p的座標為（－1，－2），當點q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以op、oq為鄰邊的平行四邊形opcq，求平行四邊形opcq周長的最小值．[備用]
（五）課堂小結
教師提問：這節課我們學習了哪些主要內容?學習了哪些方法?
學生回答的基礎上教師歸納：
1．本節課主要學習了函式的最值．
2．問題的解決是通過「觀察──猜想──證明──遷移」實現的，體現了實踐的觀點、先猜想後證明的觀點．
3．問題**的過程還應用了從特殊到一般和從一般到特殊的數學思想方法.
（六）作業安排
1．求函式的最小值．
2．(2006鎮江)如圖，在平面直角座標系中，以座標原點o為圓心，2為半徑畫⊙o，p是⊙o上一動點，且p在第一象限內，過點p作⊙o的切線與x軸相交於點a，與y軸相交於點b．點p在運動時，線段ab的長度在發生變化，請寫出線段ab長度的最小值，並說明理由．
3．(2001鎮江)某住宅小區，要建乙個八邊形居民廣場（如圖）其中，正方形mnpq與四個相同矩形（陰影部分）的面積的和為800每平方公尺，（1）設矩形的邊長ab＝x（公尺），am＝y（公尺），用含x的代數式表示y為
(2）現計畫在正方形區域上建雕塑和花壇，平均每平方公尺造價為2100元；在四個相同的矩形區域中鋪設花崗岩地坪，平均每平方公尺造價為105元，在四個三角形區域上鋪設草坪，平均每平方公尺造價為40元．
①設該工程的總造價為s（元），求s關於x的函式關係式．
②若該工程的銀行貸款為235000元，問僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設任務？若能，請列出設計方案；若不能請說明理由．
③若該工程在銀行貸款的基礎上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建設任務？若能，請列出所有可能的設計方；若不能，請說明理由．
4．閱讀理解：對於任意正實數，∵，∴，
∴，只有點時，等號成立．結論：在（均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．
根據上述內容，回答下列問題：
若，只有當時，有最小值
思考驗證：如圖1，為半圓的直徑，為半圓上任意
一點，（與點不重合）．過點作，垂足為，
，．試根據圖形驗證，並指出等號成立時的條件．
探索應用：如圖2，已知，為雙曲線上的任意一點，過點作軸於點，軸於點．求四邊形
面積的最小值，並說明此時四邊形的形狀．
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2.13函象的最值問題班級姓名學號 例1 1 若lgx lgy 1，求的最小值.2 當a 0，0 x 1時，討論函式y f x x2 2ax的最值.例2 設f x 為奇函式，對任意x y r，都有f x y f x f y 且x 0時，f x 0，f 1 2，求f x 在 3，3 上的最大值.例3 ...
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