謝黨培一、教學目的：
1．使學生能熟練運用三角函式的單調性，有界性以及均值定理研究三角函式的最值問題。
2．能運用化歸的思想，數形結合的思想將一些較為複雜的三角函式的最值問題轉化為熟悉的易於解決的問題。
3．培養學生「一題多解，一題多變」，在「比較中創新」，在「變化中創新」的能力，努力拓展學生的思維空間。
例1 ，求函式y=3sin2x-2cos2x的最值
解：（輔助角法）
∵，∴∴函式的最大值為，最小值為。
例2 ，求函式的最值。
解法1：（運用和差化積公式 ）
∴函式的最大值為，最小值為。
分析2：運用公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
解法2：
∴函式的最大值為，最小值為。
分析3：觀察發現函式中角與角的差恰好為，故將看成基本量，將函式化歸為同一角的函式式
解法3：
∴……問題1：
，求函式的最值。
解：其中
問題2：
，求函式y=3sin(x+20°)+4sin(x+80°)的最值
分析：以(x+20°)為基本量，設α=x+20°則
解：y=3sinα+4sin(α+60°)
∴， 問題3：
，求函式的最值，並求取得最值時x的值。
分析：先化簡函式，化成乙個角的一種函式再由正弦，余弦函式的有界性，同時應注意角度的限定範圍
解：由降冪公式和倍角公式，得
∵，∴，
∴∴f(x)的最小值為，此時，f(x)無最大值。
例3．，求函式的最值
解： ∴函式的最大值為，最小值為。
變化1：，求函式的最值
分析：轉化為乙個角的一種函式，將問題化歸為「二次函式」的最值問題，用配方法
解： ∴函式的最大值為，最小值為
變化2：（引入引數），，
求函式的最大值。
（1）當，即時，在sinx=1，即
時， 當時，即時，在sinx=-1，即
時， 當，即時，在，即
或時，例4 求下列函式的量值並說明當x為何值時，取得最值
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
分析：觀察發現可以用不等式求量值
解（1）∵，
∴當且僅當tgx=2ctgx時，等號成立
由tgx=2ctgx得，，
∴， 即當時，y有最小值，最小值為4，沒有最大值
（2）∵
=13+12=25
當且僅當2ctgx=3tgx時，等號成立
由2ctgx=3gtx得，，∴，
即當，時，y有最小值最小值為25，沒有最大值
（3）∵，
∴， ∴
當且僅當時等號成立
∵時，顯然，
∴可得，即，
解得，∴當時，y有最大值，
當，或時，即時，y有最小值0。
（4）∵
∴， ∴，類似（3）的方法可得，∵，∴
∴當，y有最大值，y無最小值。
例5 求函式y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值並指出當x為何值時，取得最大值。
解法1：
當sin2x=1，且，即，
解得，∴
解法2：設t=sinx+cosx，則∴∴
∴即∵當時，函式y是減函式
∴∵當時，函式y是增函式∴∴
∴當時，，即，
解得，∴時，。
例6 求函式的最小值。
分析1：注意到函式的特徵，用換元法運用萬能公式，能將函式式化為關於的有理函式，進而用判別式法求解
解：設，，，∵∴。
，∴∴∵y>1，
∴y≠0，
∴，即，
∴，解得或（舍）
檢驗：當等號成立時，即
∴。分析2：若將原式變形整理觀察結構特徵可整體換元，再利用函式單調性求解
解： 設，則，
，， ，即，
∵，∴在時，y遞減，
∴時，。
解法3： ∵∴且
當且僅當，即sinx=cosx，時等號成立
∴當時，。
注意：代數方法在三角證明中的應用。
例7 求函式的最值
解法1：（反函式法）反解得，
∴，∴，
∴函式y有最大值，無最小值。
解法2：（數形結合法）令t=cosx，t∈[-1，1），
則(y-2)(t-1)=3，則
由圖象解得，
解法3（幾何法）如圖：依直線的斜率公式，設a、b兩點的座標分別是（cosx，2cosx），b（1，-1），則
剛好是直線的斜率，∵-1≤cosx<1
當**段的端點時，y取得最大值，
當**段的端點時，線段ab的斜率不存在，所以，y有最大值無最小值。
變化1：求函式的最值
解法1：數形結合法，問題等價於求單位圓上的點p（cosx，sinx）與定點q（4，4）所確定的直線的斜率的最值，即求直線和單位圓相切時的斜率，乙個「定」，乙個「動」，在動中找規律。
解法2：變形為
sinx-ycosx=4-4y，
∴解法3：設：，…運用判別式法
變化2：求函式的最值
，仍可以運用數形結合思想解決
變化3：求函式的最值
變化4：求函式的最值
例8 求函式的最大值和最小值，並指出當x分別為何值時取到最大值和最小值。
解：∵定義域為0≤x≤1，可設且， ∴
∵，∴，∴即
∴當或，即θ=0或
（此時x=1或x=0），y=1；
當，即時，（此時），
當x=0或x=1時，y有最小值1；當時，y有最大值。
例9 已知，
求的取值範圍。
分析：用函式的思想分析問題，這是已知關於sinα，sinβ的二元條件等式求二元二次函式的值域問題，應消元，把二元變一元。
解：∵，∴∵
∴∵∵。∴sinα=0時，；
時， ∴。
作業：1．求函式的最小值。
2．求函式的最小值，並寫出使函式取得最小值的x的集合。
3．求函式f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的最大值和最小值，並寫出f(x)的最小值時，x的取值。
4．求函式的最大值和最小值。
5．設，求sinα+sinβ的最大值，並確定取得最大值時α，β應滿足的條件。
6．若函式的最大值是m試問：
隨著a的變化，m作怎樣的變化 ？請以a為橫座標，m為縱座標，畫出反映這種變化的圖象。
1．；2．當時，。
3．當時，。
4．，5．，α和β滿足的條件是。6．
三角函式特殊角值表
只想上傳這乙個表下面的都是無用的話不用看了。1 圖示法 借助於下面三個圖形來記憶，即使有所遺忘也可根據圖形重新推出 sin30 cos60 sin45 cos45 tan30 cot60 tan 45 cot45 1 2 列表法 說明 正弦值隨角度變化，即0 30 45 60 90變化 值從0 1變...
三角函式特殊角值表
1 圖示法 借助於下面三個圖形來記憶，即使有所遺忘也可根據圖形重新推出 sin30 cos60 sin45 cos45 tan30 cot60 tan 45 cot45 1 2 列表法 說明 正弦值隨角度變化，即0 30 45 60 90變化 值從0 1變化，其餘類似記憶 3 規律記憶法 觀察表中的...
三角函式特殊角值表
只想上傳這乙個表下面的都是無用的話不用看了。1 圖示法 借助於下面三個圖形來記憶，即使有所遺忘也可根據圖形重新推出 sin30 cos60 sin45 cos45 tan30 cot60 tan 45 cot45 1 2 列表法 說明 正弦值隨角度變化，即0 30 45 60 90變化 值從0 1變...