34/25
3.求證
（1）2（1-sinα）（1+cosα）=（1-sinα+cosα）∧2
(1-sina+cosa)^2
=[1-(sina-cosa)]^2
=1-2(sina-cosa)+(sina-cosa)^2
=1-2sina+2cosa+(sina)^2+(cosa)^2-2sinacosa
=2+2cosa-2sina-2sinacosa
=2(1+cosa-sina-sinacosa)
=2(1-sina)(1+cosa)
（2）sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2αcos^2β=1
sin^2α+sin^2β-sin^2α·sin^2β+cos^2α·cos^2β
=sin^2α·(1-sin^2β)+sin^2β+cos^2α·cos^2β
=sin^2α·cos^2β+sin^2β+cos^2α·cos^2β
=sin^2α·cos^2β+cos^2α·cos^2β+sin^2β
=cos^2β·（sin^2α+cos^2α）+sin^2β
=cos^2β+sin^2β
=1（3）tanasina/(tana-sina)=(tana+sina)/tanasina
tanasina/(tana-sina)
=sina/cosa*sina/(sina/cosa-sina)
=sina/cosa*sina*(1/cosa+1)/
=sina*sina(1/cosa+1/cos^2a)/
=sina*sina(1/cosa+1/cos^2a)*cosa/(sina*sin^2a/cosa)
=sina(1+1/cosa)/tanasina
=(tana+sina)/tanasina
4.選擇題
（1）下列表示式中，正確的是(a)
若tan110°=a，則tan50°的值(d)
a.(a+√3)/(1+a*√3b.(√3-a)/(1+a*√3)
c.(a-√3)/(1-a*√3d.(a-√3)/(1+a*√3)
【過程：根據正切兩角差公式：tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)
tan50
=tan(110-60)
=(tan110-tan60)/(1+tan110*tan60)
=(a-√3)/(1+a*√3) 】
（3）若sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m且β為第三象限角,則cosβ的值(b)
a.√(1-m^2) b.-√(1-m^2) c.√(m^2-1) d.-√(m^2-1)
【過程：∵cos（α－β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝m
∴cos（α－β-α）=m
cos(－β)=m
cosβ=m
為第三象限角
sinβ=-√(1-m^2)】
(4) 化簡√1-sin20°的結果是（b）
d.±(cos10°-sin10°)
【過程 1-sin20°
=(sin10°)^2-2sin10°cos10°+(cos10°)^2
=(sin10°-cos10°)^2
∵cos10°>sin10°
∴原式=cos10°-sin10°】
(5)7/16-7/8sin15°的值為（c）
a.7/16 b.7/32c.7√3 /32d.7√3 /16
【過程 sin^215°=(1-cos30°)/2
7/16-7/8sin^215°
=7/16-(7-7cos30°)/16
=7√3 /32】
(6)化簡tan(π/4+a)-tan(π/4-a)的值為（c）
a.2tana b.-2tanac.2tan2ad.-2tan2a
【過程：tan(π/4+a)-tan(π/4-a)
=[tan(π/4)+tana]/[1-tan(π/4)tana]-[tan(π/4)-tana]/[1+tan(π/4)tana]
=(1+tana)/(1-tana)-(1-tana)/(1+tana)
=4tana/(1-tana)=2tan2a】
5.已知sinα+cosα=4/5,那麼sin2α=-9/25
【過程：∵sin2a=2sinacosa
2sinacosa=（sina+cosa）-（sina+cosa）
16/25-1
9/25
sin2a=-9/25】
6.已知sin（α+45°）=3/5,45°<α<135°,那麼sinα=7√2/10
【過程：∵45°<α<135°，
∴90°<α+45°<180°，cos(α+45°)<0
cos(α+45°)= -√(1-9/25)= -4/5
sinα=sin(α+45°-45°)
sin(α+45°)cos45°-cos(α+45°)sin45°
3/5*√2/2-(-4/5)*√2/2
7√2/10】
7.已知tanα=4/3,225°<α<270°，求cos2α和sin2α的值。
sin2α=(2tanα)/[1+(tanα)^2]=24/25
cos2α=[1-(tanα)^2]/[1+(tanα)^2]=-7/25
8.若cos2α=a,求sin^4α-cos^4α的值
cos2α=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1=a
(sinα)^2=(1-a)/2、(cosα)^2=(1+a)/2
(sinα)^4+(cosα)^4
=[(sinα)^2+(cosα)^2]^2-2(sinα)^2(cosα)^2
=1-(1-a)(1+a)/2
=1+(a^2-1)/2
=(a^2+1)/2
9.已知sin（α+β）=1/2,sin（α-β）=1/3,求tanα/tanβ的值
解：tanα/tanβ=sinαcosβ/cosαsinβ
由 sin(α+β)=1/2,得到sinαcosβ+cosαsinβ=1/2
sin(α-β)=1/3,得到sinαcosβ-cosαsinβ=1/3
聯立，sinαcosβ=5/12
cosαsinβ=1/12
sinαcosβ/cosαsinβ=5
10.求證
(1)tan（α+β）-tanα/1+tanαtan（α+β）=sin2β/2cos2^β
根據公式tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)有
左邊=.(tan(α+β)-tanα)/(1+tanαtancos2βtantanβ
右邊=sin2β/2cosβ=(2sinβcosβ)/2cosβ=sinβ/cosβ=tanβ
由左邊=右邊,得
(tan(α+β)-tanα)/(1+tanαtan(α+β))=sin2β/2cos平方β
（2）sinθ(1+cos2θ)=sin2θcosθ
sinθ(1+cos2θ)=sin2θcosθ
∵cos2θ
=cos(θ+θ)
=cosθcosθ-sinθsinθ
=2cosθ-1
sinθ(1+cos2θ)
=sinθ[1+(2cosθ-1)]
=sinθ2cosθ
=(2sinθcosθ)cosθ
=sin2θcosθ
（3）sin^4α+cos^4α=1-1/2sin^2α
sin^4α+cos^4α=1-1/2sin平方2α
sin^4α+cos^4α
=(sinα)+(cosα)
=(sinα+cosα)-2sinαcosα
=1-2(sinαcosα)
=1-2(1/2sin2α)
=1-1/2sin2α
11.求下列函式的週期及最大值、最小值。
(1)y=sin3xcos3x
(1)y=sin3xcos3x
=1/2sin6x
週期=π/3
最大值=1/2
最小值=-1/2
(2)y=1/2-sin^2x
(2)y=1/2-sin^2x
=1/2-（1-cos2x）/2
=1/2 cos2x
週期=π
最大值=1/2
最小值=-1/2
(3)y=sin(x-π/3)cosx
(3)y=sin(x-π/3)cosx
=1/2 [sin（2x-π/3）＋sin（-π/3）]
=1/2 sin（2x-π/3）-√3/4
所以週期=π
最大值=1/2-√3/4
最小值=-1/2-√3/4
12.化簡 √（1-sinαsinβ）-cosαcosβ （-π/2<α<β<π/2）
(1-sinα*sinβ)-(cosα)(cosβ)
= (1-sinα*sinβ + cosα*cosβ)*(1-sinα*sinβ - cosα*cosβ)
= [1+cos(α+β)]*[1+cos(α-β)]
= 2*cos[(α+β)/2] * 2*cos[(α-β)/2]
∴化簡:原式=±2*cos[(α+β)/2]*cos[(α-β)/2] = ±(cosα + cosβ)
∵（-π/2<α<β<π/2）
∴取正號
【插一條：別小看這些我弄得比第一章更辛苦。。。要校正答案還要排版找過程弄了第五天呢！那個才弄了兩天。。。喜歡的就粉我一下嘛~算是對我的肯定眼睛困得都睜不開了。。】
b組1.化簡 cosα√（1-sinα/1+sinα）+sinα√（1-cosα/1+cosα）
cosα*√[（1-sinα）/（1+sinα）]+sinα*√[（1-cosα）/（1+cosα）]
=cosα*√[(1-sinα)^2/(1-sin^2α)]+sinα*√[(1-cosα)^2/(1-cos^2α)]
=cosα*(1-sinα)/cosα+sinα*(1-cosα)/sinα
=(1-sinα)+(1-cosα)
=2-sinα-cosα
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