孫楓許成文
在處理數列題時，最基本的方法是運用定義及公式來解決，但是有時恰當地使用等差、等比數列的性質能給人以出奇制勝、耳目一新的感覺；同時在解決數列題時要注意加強與函式的聯絡，通過相應的函式及其圖象的特徵變化地、直觀地去認識數列的性質。
一. 用定義和公式解題
1. 在數列中，前n項和，求。
分析：為了求通項公式應先得到關於項的遞推公式，由得，當n=1時，。
當時，，可得：。
∵∴數列為等比數列
評析：本題先得到關於項的遞推公式，再根據等比數列的定義得出數列的通項公式。
2. 數列是等差數列，是數列的前n項和，已知，為的前n項和，求。
分析：本題直接用數列的性質做對多數學生來說有困難，可以考慮用公式解題。
解：設等差數列的公差為d，則即解得
∴數列是等比數列，其首項為，公差為。
評析：此題運用了等差數列的定義，通項公式與求和公式，這兩個公式中共涉及五個量，知道其中的三個可以求另兩個，用定義和公式解題是解決數列問題的基本方法。
3. 已知數列為正項等比數列，它的前n項和為80，其中最大的項為54，前2n項的和為6560，試求此數列的首項和公比q。
分析：利用性質解決該題並不方便，可以用公式來解。
解：∵∴依題意有
解得又∵q>0
∴q>1
∴前n項中最大，將代入式（1）得，
由得：因此有評析：在運用等比數列求和公式時要注意公式的應用條件即，同時這裡運用了整體代換的技巧簡化運算，在用公式解題時，要樹立「目標意識」，「需要什麼，就求什麼」，這樣才能取得好的效果。
練習： 1. 在數列中，（c為非零常數）且前n項和，則實數k等於（ ）
ab. 1c. 0d. 2
2. 數列中，，當時，其前n項和滿足，求的表示式。
二. 用性質解題
1. 已知數列是等比數列，，則
解法一：∵
∴公比解法二：∵數列是等比數列
∴為一等比數列，其首項為1，公比為2，為該數列第五項，易求出其結果為16。
評析：此題可以用定義也可以用性質完成，用性質考慮可以避開對公比的討論，同時也簡化了運算，提高了解題速度。
2. 數列是等差數列，是數列的前n項和，已知，求項數n。
分析一：設數列的公差為d，由已知可列方程組
由（1）（2）可得代入（3）
可求出分析二：
，又如何求呢？，又如何求呢？
評析：用公式來解，運算量很大，因而不可取；巧妙地運用性質，解法很簡捷。因而我們在利用定義和公式這種通法解題的同時，還要恰當地運用性質，往往有事半功倍的效果。
3. 乙個等差數列的前3項之和為34，最後3項之和為146，所有項之和為360，則這個數列共有項。
分析：∴n=6
評析：用等差數列的性質解題方法簡捷。
練習： 1. 知等差數列中，，則
2. 等比數列中，若，則此數列的前10項的積為
3. 數列是公比為2的等比數列，且，則_______。
4. 已知等差數列中，，且是數列的前n項和，則（ ）
a.都小於0，都大於0
b.都小於0，都大於0
c.都小於0，都大於0
d.都小於0，都小於0
三. 用函式思想研究數列問題
1. 在等差數列中，,，問該數列的前多少項和最小？
解法一：設數列的公差為d，由題意得
即解不等式組
解得∴n=10或11時，取最小值
解法二：設數列的公差為d，由題意得
即∴n=10或11
∴n=10或11時，取最小值。
解法三：∵是等差數列
∴∴數列的圖象是函式圖象（開口向上的拋物線）上的一系列點
∵∴拋物線的對稱軸是x=10.5
∵∴n=10或11
∴n=10或11時，取最小值。
評析：解法一利用了等差數列單調性，所有負項的和最小；解法二中把看成n的二次函式，將問題轉化成函式的最值問題；解法三利用等差數列的前n項和構成的數列的圖象是拋物線上的一系列點，進而借助二次函式的圖象來求最值，這種數列結合的方法既直觀又簡捷。
2. 數列中，已知，則對於任意正整數n都有（ ）
a. b.與的大小關係和c有關
c. d.與的大小關係和c無關
分析：∵
∴當時，；當c=1時，；
當時，∴選b 3. 已知，數列滿足。
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若，當n取何值時，取最大值，並求出最大值。
解：（1）由等比數列的定義可以證明，並得出
，過程略
（2）當，時，
即當n=7或n=8時，
即當，時，
即∴且這兩項同時最大
評析：數列是定義在正整數集或正整數集的有限子集上的函式，因而數列也有單調性、週期性、最值等性質，本題通過研究的符號來得出數列單調性，進而求出最大值。
4. 已知數列的通項公式是，其中a、b均為正常數，那麼與的大小關係是（ ）
a. b.
c. d.與的大小關係不確定
解法一：∵
解法二：
∴數列是遞增的
解法三：
∴數列是遞增的
評析：解法一是通過作差來研究數列的單調性；解法二和解法三則是直接利用簡單函式的單調性來得出數列的單調性的，其中解法三是非常簡捷的。
練習： 1. 已知函式的最大值不大於，又當時，。
（1）求a的值；
（2）設，求證：。
2. 已知數列中，，則下列敘述正確的是（ ）
a. 最大值為，最小值為
b. 最大值為，最小值不存在
c. 最大值不存在，最小值為
d. 最大值為，最小值為
練習答案：
一. 用定**題練習：
1. a 2.
二. 用性質解題練習：
1234. b
三. 用函式思想研究數列問題練習：
1. 1 2. a
考研數學 證明推理題的解決策略
考研數學的試卷中，幾乎每一年都會有乙個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決的。但是很多考生的邏輯推理能力不足以達到考研數學的要求，導致考研數學考試中遇到證明推理題就會一籌莫展。這導致對於如此簡單的證明題得分率也極低。首先，結合幾何意義記住零點存在定理 中值定理 泰勒公式 極限存在的兩個準則等基本...
解決問題的策略
課題解決問題的策略執教 教學時間 2015.06.17 課時內容第一課時 1 使學生在具體的問題情境中產生畫圖的需求，學會用畫圖的方法整理條件與問題，進而發現條件與問題之間的內在聯絡，形成解決問題的思路和步驟。教學目標2 使學生在解決問題的過程中體驗畫圖的優勢，形成依託圖形靈活 有 效地解決不同問題...
解決問題的策略
1 引導發現法。通過與舊知的比較，讓學生感覺到今天所要學的知識有一定的難度和挑戰性，從而調動學生的主動性和積極性。2 合作 法。教師通過設疑，引導學生合作學習，逐步啟發學生 用替換的方法來解決問題。增強學生探索的信心，體驗成功。3 練習鞏固法。力求突出重點 突破難點，使學生運用知識 解決問題的能力得...