21.1 一元整式方程
教學重點及難點
重點:理解含字母係數的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.
難點: 解含字母係數的一元一次方程、一元二次方程中的分類討論.
教學過程設計
一、 問題引入1
1．思考
根據下列問題列方程：
（1） 買3本同樣的練習本共需12元錢，求練習本的單價；
（2） 買a（a是正整數）本同樣的練習本共需12元錢，求練習本的單價；
（3） 乙個正方形的面積的4倍等於16平方厘公尺，求這個正方形的邊長；
（4） 乙個正方形的面積的b（b＞0）倍等於s（平方單位），求這個正方形的邊長.
2．討論
你所列出的方程之間有什麼區別和聯絡?
二、 新課學習1
1、 歸納概念1
在方程和中，是未知數;字母、是項的係數，是常數項，它們都表示已知數，我們稱這樣的方程是含字母係數的方程，這些字母叫做字母係數.（2）、（4）問題中的方程就分別是含字母係數的一元一次方程和一元二次方程.
2．講解例題
例題1 解下列關於的方程：(學生進行嘗試性地模擬解題)
（1） （2）
3、思考
含字母係數的方程與不含字母係數的方程在解的過程中存在什麼區別嗎？
4、結論
含字母係數的一元一次和一元二次方程在解的過程中，由於字母的不確定性，在使用等式性質和根的判別式時，往往需要進行分情況進行討論；如果字母能確定，則不需要討論.
三、問題引入2
（1） 有一塊邊長為10分公尺的正方形薄鐵皮，在它的四個角上分別剪去大小一樣的乙個小正方形，然後做成乙個容積為48立方分公尺的無蓋長方體物件箱.設小正方形的邊長為分公尺，根據題意列方程；
（2） 某廠2023年產值為100萬元，計畫到2023年產值增長到161.051萬元.設每年的平均增長率為,根據題意列方程.
四、 新課學習2
1、整式方程：如果方程中只有乙個未知數且兩邊都是關於未知數的整式,這個方程叫做一元整式方程;
2、一元次方程：一元整式方程中含未知數的項的最高次數是 (是正整數),這個方程叫做一元次方程.
3、一元高次方程
（1）概念：一元整式方程中含有未知數的項的最高次數是，若次數是大於2的正整數，這樣的方程統稱為一元高次方程。
（2）特點：整式方程;只含乙個未知數;含未知數的項最高次數大於2次.
2．講解例題
例題2 判斷下列關於的方程,哪些是整式方程?這些整式方程分別是一元幾次方程?
21.2（1）特殊的高次方程的解法
教學目標
知識與技能：理解和掌握二項方程的意義以及二項方程的解法；
過程與方法：學會把乙個代數式看作乙個整體，掌握可以通過換元轉化為二項方程的方程的解法, 經歷知識的產生過程，感受自主**的快樂.
教學重點及難點
重點：掌握二項方程的求解方法.
難點：把「整體」轉化為「新」元的二項方程.
教學過程設計
一、 情景引入
1．複習提問
複習：請同學們觀察下列方程
(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ；
(4) =3； (56) ；
(7) ； (8) ；(9) .
提問：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？
（2）後5個方程與前3個方程有何異同？
（3）方程（5）、（6）、（7）有什麼共同特點？
（學生口述後，教師簡單小結）
二、學習新課
1．概念辨析
（1） 一元高次方程
（1）整式方程;（2）只含乙個未知數;（3）含未知數的項最高次數大於2次.從而提出一元高次方程的概念，並標題，提出本節課的主要內容，學習簡單高次方程及其解法.
（2）二項方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數的一項和非零的常數項，另一邊是零，那麼這樣的方程就叫做二項方程.
（3）一般形式：
關於x的一元n次二項方程的一般形式為
三、鞏固練習
1．判斷下列方程是不是二項方程：
（12）；
（34）.
題型一、含字母係數的方程
注意：含字母係數的一元一次和一元二次方程在解的過程中，由於字母的不確定性，在使用等式性質和根的判別式時，往往需要進行分情況進行討論；如果字母能確定，則不需要討論.
基本題型：方程的解的情況：
當時，方程有唯一的解，解為
當時，方程有無數解，解為任意實數
當時，方程沒有實數解.
隨堂練習
；；解下列簡單的高次方程：
（1）（2）（3）（4）
分層作業：（1）解方程
（2）在上述方程中，若y=x+1時，求x 的值.
（3）解二項方程：
21.2（2）特殊的高次方程的解法
教學重點及難點
掌握雙二次方程的求解方法，學會判斷雙二次方程的根的個數.
教學過程設計
一、 情景引入
1．複習
請同學們解下列一元二次方程：
(1) (2)
（解題時可以穿插複習一元二次方程的四種解法：因式分解法、開平方法、配方法、求根公式法）
2．思考：
若令,則方程變形為（1），（2）
如何求解上述方程？
[說明]以前的教學中已經提及過換元法，經過前題中一元二次方程的求解的鋪墊，大部分學生都能獨立解決以上兩題，並可以自然過渡到新課的講解.
3．觀察：
提問：以下哪些方程與，具有共同的特點？
（1） （2）（3）
（4） （5）
這類方程有什麼共同的特點？
二、學習新課
1．概念辨析
（1） 雙二次方程：只含有偶數次項的一元四次方程.
注當常數項不是0時，規定它的次數為0.
（2）一般形式：
（3）學生歸納：如何求解雙二次方程？
分析求解的思想方法是「降次」，通過換元把它轉化為一元二次方程.
2．例題分析
例4：解下列方程：
（1） （2）
例5：解方程
分析：雙二次方程既可以用換元法，也可以把看作乙個整體直接求解.
3．問題拓展
（1）自主**：
不解方程，判斷下列方程的根的個數：
分析：令
①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四個實數根.
②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程沒有實數根.
③△>0,y1y2<0原方程有兩個實數根.
④△<0原方程沒有實數根.
三、鞏固練習
挑戰五顆星：解下列高次方程.
（★★★：（1）x4+3x-10=0; (2) 3x4-2x2-1=0.
★★★★：
（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2＋x）=2;
（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.
★★★★★：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ;
五、作業布置
練習冊：習題21.2（2）
分層作業：解下列高次方程:
（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;
（3） x4-（a2+b2）x2＋a2b2=0;（4）（x2+8x＋12）2＋6（x2＋8x＋12）＋9=0.
用因式分解法求解一元高次方程.
1．複習
（1）將下列各式在實數範圍內分解因式：
①x2-4x+3x4-4；
③x3-2x2-15x； ④ x4-6x2+5；
⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.
教師指出：
在分解④、⑤題時，應利用換元的思想，分別把x2 和x2-x看成y，於是就有y2-6y+5和y2-4y-12.從而把四次多項式轉化為二次三項式，使問題易於解決.
分析：不管是開方還是換元都是通過「降次」達到化歸目的.
2．觀察：
（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；
⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右邊都為0，請指出哪些是高次方程？
二、學習新課
1．例題分析
例6 解下列方程 （1）5x3=4x2； （2）2x3+x2-6x=0.
例7 解下列方程 （1）x3-5x2+x-5=0； （2）x3-6=x-6x2.
2．問題拓展
（1）解方程 x3-2x2-4x＋8=0．
解原方程可變形為
x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0．
所以 x1＝x2＝2，x3=-2．
三、鞏固練習
1．直接寫出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它們是
2．解下列方程：
（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.
3．解下列方程：
（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=0
4．拓展：
（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，
（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.
（五、作業布置
練習冊：習題21.2（3）
分層作業：解下列方程：
（1）x3+3x2+3x+1=0
（2）x(x+1)(x-3) =x+1
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