三角形與動點問題

1、如圖，在等腰△acb中，ac＝bc＝5，ab＝8，d為底邊ab上一動點（不與點a，b重合），de⊥ac，df⊥bc，垂足分別為e，f，則de＋df

2、在邊長為2㎝的正方形abcd中，點q為bc邊的中點，點p為對角線ac上一動點，連線pb、pq，則△pbq周長的最小值為結果不取近似值）.

3、如圖，將邊長為1的等邊△oap按圖示方式，沿x軸正方向連續翻轉2011次，點p依次落在點p1，p2，p3，p4，…，p2007的位置．試寫出p1，p3，p50，p2011的座標．

4、如圖，在等腰rt△abc中，∠acb=90°，ac=cb，f是ab邊上的中點，點d、e分別在ac、bc邊上運動，且始終保持ad=ce．連線de、df、ef．

（1）求證：△adf≌△cef

（2）試證明△dfe是等腰直角三角形

5、（2023年包頭）如圖，已知與是兩個全等的直角三角形，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，將這兩個三角形擺成如圖（1）所示的形狀，使點在同一條直線上，且點與點重合，將圖（1）中的繞點順時針方向旋轉到圖（2）的位置，點在邊上，交於點，則線段的長為 cm（保留根號）．

6、如圖1，若△abc和△ade為等邊三角形，m，n分別eb，cd的中點，易證：cd=be，△amn是等邊三角形．

（1）當把△ade繞a點旋轉到圖2的位置時，cd=be是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

（2）當△ade繞a點旋轉到圖3的位置時，△amn是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，並求出當ab=2ad時，△ade與△abc及△amn的面積之比；若不是，請說明理由．

7、如圖，已知中，厘公尺，厘公尺，點為的中點．

（1）如果點p**段bc上以3厘公尺/秒的速度由b點向c點運動，同時，點q**段ca上由c點向a點運動．

①若點q的運動速度與點p的運動速度相等，經過1秒後，與是否全等，請說明理由；

②若點q的運動速度與點p的運動速度不相等，當點q的運動速度為多少時，能夠使與全等？

（2）若點q以②中的運動速度從點c出發，點p以原來的運動速度從點b同時出發，都逆時針沿三邊運動，求經過多長時間點p與點q第一次在的哪條邊上相遇？

8、如圖，在平面直角座標系中，矩形aobc在第一象限內，e是邊ob上的動點（不包括端點），作∠aef = 90，使ef交矩形的外角平分線bf於點f，設c（m，n）．

（1）若m = n時，如圖，求證：ef = ae；

（2）若m≠n時，如圖，試問邊ob上是否還存在點e，使得ef = ae？若存在，請求出點e的座標；若不存在，請說明理由．

9.（2023年本溪）在中，，點是直線上一點（不與重合），以為一邊在的右側作，使，連線．

（1）如圖1，當點**段上，如果，則度；

（2）設，．

①如圖2，當點**段上移動，則之間有怎樣的數量關係？請說明理由；

②當點在直線上移動，則之間有怎樣的數量關係？請直接寫出你的結論．

10．如圖，直線與軸、軸分別交於點，點．點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿→方向運動，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿→的方向運動．已知點同時出發，當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動時間為秒．

（1）設四邊形mnpq的面積為，求關於的函式關係式，並寫出的取值範圍．

（2）當為何值時，與平行？

11.（2009寧夏）已知：等邊三角形的邊長為4厘公尺，長為1厘公尺的線段在的邊上沿方向以1厘公尺/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交於兩點，線段運動的時間為秒．

（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？並求出該矩形的面積；

（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為．求四邊形的面積隨運動時間變化的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍．