一、選擇題
1．(2011·大理)三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的乙個根，則這個三角形的周長是( )
a．9 b．11 c．13 d．11或13
答案 c
解析方程x2－6x＋8＝0的兩根為2和4，只有4與3、6可組成三角形，其周長為4＋3＋6＝13.
2．(2011·濟寧)若乙個三角形三個內角度數的比為2∶7∶6，那麼這個三角形是( )
a．直角三角形 b．銳角三角形
c．鈍角三角形 d．等邊三角形
答案 b
解析這個三角形的最大角為×180°＝×180°＝84°，是銳角．
3．(2011·連雲港)小華在**中問小明：「已知乙個三角形三邊長分別是4,9,12，如何求這個三角形的面積？小明提示說：
「可通過作最長邊上的高來求解．」小華根據小明的提示作出的圖形正確的是( )
答案 c
解析三角形最長邊是12，過其所對角的頂點作這邊的垂線段，可知c是正確的．
4．(2011·懷化)如圖所示，∠a、∠1、∠2的大小關係是( )
a．∠a>∠1>∠2
b．∠2>∠1>∠a
c．∠a>∠2>∠1
d．∠2>∠a>∠1
答案 b
解析 ∠2是∠1所在三角形中與∠1不相鄰的外角，所以∠2>∠1，同理∠1>∠a，故∠2>∠1>∠a.
5．(2011·宿遷)如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△abd≌△acd的條件是( )
a．ab＝ac b．bd＝cd
c．∠b＝∠c d．∠bda＝∠cda
答案 b
解析當∠1＝∠2，ad＝ad，bd＝cd時，邊邊角不一定能使兩個三角形全等．
二、填空題
6．(2011·麗水)已知三角形的兩邊長為4,8，則第三邊的長度可以是______(寫出乙個即可)．
答案答案不唯一，在47．(2011·綿陽)如圖，ab∥cd，cp交ab於o，ao＝po，若∠c＝50°，則∠a＝______.
答案 25°
解析因為ab∥cd，所以∠pob＝∠c＝50°.又ao＝po，得∠a＝∠p，由∠a＋∠p＝∠pob，可知2∠a＝50°，∠a＝25°.
8．(2011·無錫)如圖，在△abc中，ab＝5 cm，ac＝3 cm，bc的垂直平分線分別交ab、bc於d、e，則△acd的周長為cm.
答案 8
解析因為de垂直平分bc，所以db＝dc，故△acd的周長ac＋ad＋dc＝ac＋ad＋db＝ac＋ab＝5＋3＝8 cm.
9．(2011·大理)如圖，ab＝ad，∠1＝∠2，請你新增乙個適當的條件，使得△abc≌△ade，則需新增的條件是________(只要寫出乙個即可)．
答案 ∠d＝∠b，或∠dea＝∠c，或ae＝ac等．
10．(2011·江西)如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠dab＝30°.有以下四個結論：①af⊥bc；②△adg≌△acf；③o為bc的中點；④ag∶de＝∶4，其中正確結論的序號是
答案 ①②③④
解析 ∵∠dab＝30°，∠dae＝90°，∴∠bae＝60°，∠afb＝90°，af⊥bc；由ad＝ac，∠d＝∠c＝60°，∠dab＝∠cae＝30°，可證得△adg≌△acf；在rt△abf中，∠b＝30°，可知af＝ab＝ae＝ef，ef⊥bc，所以bc垂直平分ae，連ao，則有oa＝oe，∠oae＝∠e＝30°，∠oac＝∠c＝60°，△aoc是等邊三角形，oc＝ac＝bc，o為bc中點；設dg＝k，則有ag＝k，eg＝3k，de＝4k，故ag∶de＝∶4k＝∶4，綜上，①②③④均正確．
三、解答題
11．(2011·東莞)已知：如圖，e、f在ac上，ad∥cb且ad＝cb，∠d＝∠b.
求證：ae＝cf.
解 ∵ad∥cb，
∴∠a＝∠c.
又∵ad＝cb，∠d＝∠b，
∴△adf≌△cbe.
∴af＝ce.
∴af＋ef＝ce＋ef，
即ae＝cf.
12．(2011·菏澤)已知：如圖，∠abc＝∠dcb，bd、ca分別是∠abc、∠dcb的平分線．求證：ab＝dc.
證明 ∵bd平分∠abc，ca平分∠dcb，
∴∠acb＝∠dcb，∠dbc＝∠abc.
∵∠abc＝∠dcb，
∴∠acb＝∠dbc.
在△abc與△dcb中，
∴△abc≌△dcb，
∴ab＝dc.
13．(2011·江津)在△abc中，ab＝cb，∠abc＝90°，f為ab延長線上一點，點e在bc上，且ae＝cf.
(1)求證：rt△abe≌rt△cbf；
(2)若∠cae＝30°，求∠acf度數．
解 (1)證明：∵∠abc＝90°，∴∠cbf＝∠abe＝90°.
在rt△abe和rt△cbf中，
∵ae＝cf, ab＝bc，∴rt△abe≌rt△cbf(hl)．
(2)解：∵ab＝bc, ∠abc＝90°，
∴∠cab＝∠acb＝45°.
∵∠bae＝∠cab－∠cae＝45°－30°＝15°，
由(1)得rt△abe≌rt△cbf，∴∠bcf＝∠bae＝15°，
∴∠acf＝∠bcf＋∠acb＝45°＋15°＝60°.
14．(2011·揚州)已知：如圖，銳角△abc的兩條高bd、ce相交於點o，且ob＝oc.
(1)求證：△abc是等腰三角形；
(2)判斷點o是否在∠bac的角平分線上，並說明理由．
解 (1)證明：∵bd、ce是△abc的高，
∴∠bec＝∠cdb＝90°.
∵ob＝oc，∴∠obc＝∠ocb.
又∵bc＝bc，
∴△bec≌△cdb.
∴∠abc＝∠acb.
∴ab＝ac，即△abc是等腰三角形．
(2)解：點o在∠bac的角平分線上．理由如下：
∵△bec≌△cdb，∴bd＝ce.
∵ob＝oc，∴od＝oe.
又∵od⊥ac，oe⊥ab，
∴點o在∠bac的角平分線上．
15．(2011·邵陽)數學課堂上，徐老師出示一道試題：
如圖所示，在正三角形abc中，m是bc邊(不含端點b、c)上任意一點，p是bc延長線上一點，n是∠acp的平分線上一點．若∠amn＝60°，求證：am＝mn.
(1)經過思考，小明展示了一種正確的證明過程．請你將證明過程補充完整．
證明：在ab上擷取ea＝mc，連線em，得△aem.
∵∠1＝180°－∠amb－∠amn，∠2＝180°－∠amb－∠b，∠amn＝∠b＝60°，∴∠1＝∠2.
又**平分∠acp，∠4＝∠acp＝60°，
∴∠m**＝∠3＋∠4＝120°.①
又∵ba＝bc，ea＝mc，∴ba－ea＝bc－mc，即be＝bm.
∴△bem為等邊三角形．∴∠6＝60°.
∴∠5＝180°－∠6＝120°.②
∴由①②得∠m**＝∠5.
在△aem和△m**中，
∴△aem≌△m**(asa)．∴am＝mn.
(2)若將試題中的「正三角形abc」改為「正方形
a1b1c1d1」(如圖)，n1是∠d1c1p1的平分線上一點，則當∠a1m1n1＝90°時，結論a1m1＝m1n1是否還成立？(直接寫出答案，不需要證明)
(3)若將題中的「正三角形abc」改為「正多邊形anbn**dn…xn」，請你猜想：當∠anmnnn時，結論anmn＝mnnn仍然成立？(直接寫出答案，不需要證明)
解 (1)∠1＝∠2，ae＝mc，∠m**＝∠5.
(2)成立. 在a1b1上擷取a1h＝m1c1，連線m1h，易證△a1m1h≌△m1n1c1.
(3)∠amn＝60°＝×180°，
∠a1m1n1＝90°＝×180°，
∠anmnnn＝×180°.
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