學科：數學教學內容：集合（第一課時）
【自學導引】
1．某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，也簡稱集．
2．常用數集的記法n表示自然數集、n*表示正整數集、z表示整數集、有理數集q、實數集r．
3．集合中元素的確定性是指：給定乙個集合，任何乙個物件是不是這個集合中的元素是確定的．集合中元素的互異性是指：集合中的元素是沒有重複現象的，任何兩個相同的物件在同乙個集合中時，只能算作這個集合的乙個元素．
【思考導學】
1．把某學校的全體教師、汽車、籃球、教學樓集在一起能否組成乙個集合？為什麼？
答：能組成乙個集合．
因為，儘管所給的物件有人、有物等，但這些物件都是能夠確定的，故能組成乙個集合．
2．、所表示的集合是實數集r嗎？
答：都不是．
因表示的是以實數集為元素的集合，即，它與r的關係是r∈，顯然用表示r是不對的．
對於，由於集合符號「{}」已包含「所有」的意思，因而大括號內的文字描述，要表示實數集時，不應再用「全體」，只需寫「實數」即可，即表示的是實數集r．
【典例剖析】
［例1］(1)「某中學的大胖子」；
(2)「某學校身高超過1.80公尺的高個子」；
(3)「奧運會中的比賽專案」；
(4)｛a，a，b，c｝．
以上四者不能組成集合的是哪幾個?
解：因為未規定大胖子的標準，所以(1)不能組成集合．又因為(4)中兩個相同的元素a，所以不能組成集合．由於(2)、(3)中的物件具備確定性，因此只有(2)、(3)才能組成集合．
點評：判斷指定的物件能不能形成集合，關鍵在於能否找到乙個明確標準，對於任何乙個物件，都能確定它是不是給定集合的元素．
［例2］給出下面五個關係：∈r，0.7q，0∈，0∈n，3∈，其中正確的個數是( )
a．5b．4
c．3d．1解：0.7為有理數，故0.7q不正確；因集合中的元素是乙個點(2，3)，而不是兩個元素2和3，故3∈不正確．故正確的有3個，選c．
點評：研究元素與集合的關係，應首先明確集合是由怎樣的元素組成，然後再判斷所給物件是否為集合中的元素．
［例3］若x∈r，則集合中元素x應滿足什麼條件？
解：由集合元素的互異性知，集合中的元素應滿足條件
即得∴x應滿足的條件是x≠3、0、1、±．
點評：集合元素的互異性是指它的任何兩個元素都是不同的，因此，本例中x應同時滿足三個條件，注意不要遺漏．
【隨堂訓練】
1．下列各組物件中不能形成集合的是( )
a．高一年級女生全體
b．高二(1)班學生家長全體
c．高三年級開設的所有課程
d．高一(6)班個子較高的學生
解析： a、b、c中的物件具備確定性，而d中的物件不具備確定性． 答案： d
2．下列關係中，正確的個數為( )
①∈r ②q ③|－3|n* ④|－|∈q
a．1b．2
c．3d．4答案： b
3．下面四個命題，其中正確命題的個數是( )
①集合n中最小的元素是1
②若－an，則a∈n
③若a∈n，b∈n，則a＋b的最小值是2
④x2＋4＝4x的解集可表示為｛2，2｝
a．0b．1
c．2d．3
解析： 集合n表示自然數集，最小的自然數是0，故①、③不正確．
②若－an，說明－a不是自然數，可能是自然數的相反數或非整數，故a不一定是自然數，所以命題②不正確．
④集合的表示不符合元素的互異性，故命題不正確．③同答案： a
4．已知集合m＝｛大於－2且小於1的實數｝，則下列關係式正確的是( )
a．∈m
b．0m
c．1∈m
d．－∈m
解析： ∵－2＜－＜1，∴－∈m
答案： d
5．用符號「∈」或 「」填空
2______n，－1______n， ______n，π______n，2______z，－1______z，
______z，π______z，2______q，－1______q， ______q，π______q，
2______r，－1______r， ______r，π______r．
答案6．數集｛a，a2－a｝中a所滿足的條件為______．
解析： ∵a≠a2－a，即a2－2a≠0
∴a≠0且a≠2．
答案： a≠0且a≠2
【強化訓練】
1．下列各組物件中，不能組成集合的是( )
a．所有正三角形
b．《數學》課本中的所有習題
c．所有數學難題
d．所有無理數
解析： c不符合元素的確定性．
答案： c
2．若a＝｛(2，－2)，(2，2)｝，則集合a中元素的個數是( )
a．1b．2
c．3d．4
解析： 集合a中的元素為(2，－2)和(2，2)，故a中有2個元素．
答案： b
3．已知集合m＝，則x滿足( )
a．x≠1且x≠
b．x≠±1
c．x≠±
d．x≠±1且x≠±
解析： x應滿足x2≠1且x2≠2，即x≠±1且x≠±．
答案： d
4．集合為( )
a．b．
c．d．
解析： 集合是由方程(x－2)2＝0的解組成的集合，而此方程的解為2，故集合為．
答案： c
5．集合與集合是否表示同一集合______；集合與集合是否表示同一集合______(填「是」或「不是」)．
解析： 根據集合中元素的無序性可知＝；集合是由1、2兩數組成的集合，而是由直角座標平面內的一點(1，2)組成，故不是同一集合．
答案： 是不是
6．對於集合a＝｛2，4，6｝，若a∈a，則6－a∈a，那麼a的值是 ．
解析： ∵a∈a，∴a＝2或a＝4或a＝6，而當a＝2和a＝4時，6－a∈a，
∴a＝2或a＝4．
答案： 2或4
7．說出下面集合中的元素：
(1)｛小於12的質數｝；
(2)｛倒數等於其本身的數｝．
解：(1)因為質數就是只能被1和其本身整除的正整數，所以集合｛小於12的質數｝中的元素為2，3，5，7，11．
(2)倒數等於其本身的數只有1和－1，所以集合｛倒數等於其本身的數｝中的元素為1，－1．
8．已知數集，求實數a所應滿足的條件．
解：由集合元素的互異性知，集合中的元素應滿足的條件為：2a≠a2＋a，即a≠0且a≠1．
9．若－3∈｛a－3，2a－1，a2－4｝，求實數a．
解：∵－3∈｛a－3，2a－1，a2－4｝
∴a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3
解得：a＝0或a＝－1或a＝1．
而當a＝－1時，2a－1＝a2－4＝－3，
與元素互異性矛盾
∴a＝0或a＝1．
10．若∈｛t｝，求t的值．
解：由∈｛t｝知＝t．
即：t2＋2t－1＝0，
∴t＝－1±
【學後反思】
(1)元素與集合的關係用「∈」或「」表示，如：a∈｛a｝．
(2)常見的數集符號：自然數集：n；正整數集：n*；整數集：z；有理數集：q；實數集：r．
(3)集合的概念：某些指定的物件集在一起就成乙個集合，集合中的每個物件叫做這個集合的元素．集合中元素的性質(或稱三要素)：①確定性：x∈a，與xa，二者必居其一；
②互異性：x1∈a，x2∈a，則x1≠x2；③無序性：｛a，b｝＝｛b，a｝．
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