題組教學：「探索—研究—綜合運用」模式
——「數列的裂差消項求和法解題課」教學設計
【課例解析】
1 教材的地位和作用
本節課是人教a版《數學（必修5）》第2章數列學完基礎知識後的一節針對數列求和方法的解題課。通過本節課的教學讓學生感受裂差消項求和法在數列求和中的魅力，體會裂項相消的作用，達到提高學生運用裂項相消求和的能力，並把培養學生的建構意識和合作，探索意識作為教學目標。
2 學情分析
在此之前，學生學習了數列的一般概念，又對等差、等比數列從定義、通項、性質、求和等方面進行了深入的研究。在研究過程中，數列求和問題重點學習了通過轉化為等差、等比數列求和的方法，在推導等差、等比數列求和公式時用到了錯位相減法、倒序相加法和裂差消項求和法，本節課在此基礎上進一步對裂差消項求和法做深入的研究。本節課的內容和方法正處於學生的認知水平和知識結構的最近發展區，學生能較好的完成本節課的教學任務。
【方法闡釋】
本節課的教學採用心智數學教育方式之「題組教學」模式，分為「創設情景、匯入新課，題組探索、自主**，題組研究、匯報交流，題組綜合、鞏固提高，歸納總結、提公升拓展」五個教學環節．
本節課從學生在等比數列求和公式推導過程中用到的裂差消項求和法引入，從課本習題的**入手展開教學，學生能自主發現裂差消項求和法，並很快進入深層次思維狀態。接下來的研究性題組和綜合性題組又從更深更廣的層面加強裂差消項求和法的應用。
【目標定位】
1 知識與技能目標
掌握裂項相消法解決數列求和問題的基本思路、方法和適用範圍。進一步熟悉數列求和的不同呈現形式及解決策略。
2 過程與方法目標
經歷數列裂差消項求和法的**過程、深化過程和推廣過程。培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力。體會知識的發生、發展過程，培養學生的學習能力。
3 情感與價值觀目標
通過數列裂差消項求和法的推廣應用，使學生認識到在學習過程中的一切發現、發明，一切好的想法和念頭都可以發揚光大。激發學生的學習熱情和創新意識，形成鍥而不捨的鑽研精神和合作交流的科學態度。感悟數學的簡潔美﹑對稱美。
4教學的重點和難點
本節課的教學重點為裂項相消求和的方法和形式。能將一些特殊數列的求和問題轉化為裂項相消求和問題。
本節課的教學難點為用裂項相消的思維過程，不同的數列採用不同的方法，運用轉化與化歸思想分析問題和解決問題。
【課堂設計】
一、創設情景、匯入新課
教師：請同學們回憶一下，我們在推導數列求和公式時，先後發現了哪幾種數列求和的方法？
學生1：在等差數列求和公式的推導時我們用到了倒序相加法。在等比數列求和公式的推導中我們發現了錯位相減法、裂差消項求和法。
學生2：在學習求和過程中，我們還發現了分組求和法和通項轉換法。
我的思考：在推導等比數列求和公式時，有的小組根據等比數列求和公式的形式，想到用裂差消項求和法。這節課就是從學生的這種想法開始，使學生體會到自己的乙個想法，再繼續下去就能解決一類問題。
等比數列求和公式用裂差消項求和法證明如下：
=二、題組探索、自主**
教師：請同學們思考下列探索性題組中問題解法：
出示探索性題組(多**投影)
求和:1．
2． 3．
4． 學生獨立思考後，各小組討論交流各自的想法，各小組選派代表在全班交流。
學生3；第一題去掉括號後，除第一項和最後一項外，其餘各項都能消去。
學生4：第2題的每一項與第一題相同，每一項都可裂成兩項，
數列通項
所以，教師：用對嗎？為什麼？
學生5：不行了，很明顯，左右是不相等的關係。
教師：怎樣改變呢？
學生5：待定係數法，配平係數，達到平衡。應該乘以！
和第2題相似，每一項也可裂成兩項實現裂差消項求和。
數列的項
所以，=學生6：第4題的變形與第3題類似
變式問題：求和
學生7：每一項同樣可裂成兩項，通過裂差消項求和法求和：
教師：通過以上探索性題組我們發現什麼結論呢？
（學生表述，教師點評，補充。）
結論：一般地，{}是公差為d的等差數列，
則： 教師小結：分母為等差數列的某相鄰兩項之積，而分子為常量的分式型數列的求和，將它的每一項分解為兩項差的形式，前一項的減數恰與後一項的被減數相同，求和時中間項互相抵消，這種數列求和的方法就是裂差消項求和法。
三、題組研究、匯報交流
出示研究性題組
1． 求數列的前n項和。
2．求數列的前n項和？
3．求和：
（學生分組討論解題思路，教師巡迴，對個別學生問題進行指導，師生共同討論。）
教師：觀察研究性題1和探索性問題的解法有何不同呢？
學生8：有所不同，消去的項不一樣了。前面和後面各有兩項沒有消去，前面是兩正項，後面是兩負項。
解：數列的通項公式可變形為：
學生9：方法與第1題類似
解：通項
教師分析：研究性題3中數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項的乘積；從上面的經驗看：該數列求和使用「裂項相消法」的可能性較大，那就看分子能否化為常數。
注意到該數列的通項公式的特徵：分子、分母同次且沒有一次項；
考慮到所以使用處理分式函式的常用手段，分離常數法即可把分子化為常數。變形如下：
學生10：解：
∴=（學生說題，鍛鍊學生的表述能力，思維能力）
教師：以上裂項求和型別大家掌握的比較好了，我們一起看下面的問題：
四、題組綜合、鞏固提高
1．求數列前n項的和。
2．求數列的前n項和
3．已知數列，求數列的前項和
（分組討論解題思路，教師做適當點撥和引導，學生展示解題過程。）
學生11：
所以，學生12：也可不裂項變為各項相乘約項。
解： 教師：很好，這又是乙個好想法，課後同學們可**一下有哪些數列求和適用這種方法。
教師：對於第2題，很明顯，我們沒法進行合併，分母也不是兩個積的乘積形式，不太符合以上方法。我們搜尋一下，以前我們見過這種式子嗎？對它有什麼變形方法？
學生13：以前我們處理過這種無理式，可以分母有理化。對(大部分學生也發現了這種方法)，有理化後就變成兩項之差的形式，同樣可用裂差消項求和法。
（學生板演解題過程）
解：分母有理化， ∵
∴學生開始興奮起來，課堂上氣氛達到了空前高漲。
小試牛刀：在數列中，，且，則n＝_____
學生說明答案。
教師：對於第3題，我們又遇到新問題。分母變成三項積的形式，如何變形?
（學生紛紛試驗各種裂項的方案。）
學生：還是應該考慮裂項的方法。我最先試驗的是能否像探索性題組那樣**成、、的和差形式。我發現不能直接化為它們的差，即使化為它們的差也解決不了相消的問題。
教師：你們希望什麼樣的變形？
學生：我希望也像探索性問題一樣，每一項**成兩項的差，並且要能消項才行。
教師：對，「兩項、能消項」，你們有想法就要設法按照自己的思路試一下。
學生14：我有了乙個想法，按照「兩項、能消項」的要求，就不能考慮變成、、的和差形式。兩項又必須相對對稱的，我們先考慮最簡單的兩項的變形，中，第一項和第二項都有2出現，是否可考慮讓作差的兩個式子中都出現2哪？
（在教師、學生的啟發下，學生紛紛試驗著裂項方法）
學生14：我試驗過了，這也符合「對稱、和諧」的美學原理。
解： 五、歸納總結、提公升拓展
教師：應該注意什麼問題？
學生：裂差消項求和法多用於分母為等差數列的某相鄰k項之積，而分子為常量的分式型數列的求和，對裂項相消法求和，其裂項可採用待定係數法確定，並注意能否正負抵消。
師生共同小結： (學生敘述,教師進行補充和整理)
教師板演要點：
1裂項抵消法多用於分母為等差數列的某相鄰項之積，而分子為常數的分式型數列的求和。
2裂項有困難時，可採用待定係數法來確定。
3在消項時一定注意消去了哪些項,還剩下哪些項，有困難時可多寫幾項,然後仔細觀察消項規律，一般地剩下的正項與負項一樣多。
4對於分母是兩個二次根式的和，且被開方數是等差數列，利用分母有理化，使分母上的和變成了分子上的差，從而因中間項相消而可求sn。
5裂項相消法適用於其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
教師：若求數列還能用裂項相消法嗎？為什麼？請同學們課下**以下。（為後面數列的分組求和的教學做鋪墊）
教師：今天這節課我們主要研究了一些非等差(比)的特殊數列求和方法。同學們回憶一下這些數列求和的指導思想是什麼?
學生：將部分數列求和通過變形轉化為裂項求和。
教師：對，解決這些數列求和問題的思路是將它們轉化基本的裂差消項求和，從而解決問題。這種思想也是我們數學解題中經常用到的一種思想——化歸思想。
(給學生時間回顧以上內容及方法。)
教師：能否總結一下裂項相消法所應用的具體公式？
學生：我們所用的裂項公式有：
（1），
（2）（3）（4）（5）教師課堂總結：裂差消項求和法：若乙個數列的每一項都可以化為兩項之差，並且前一項的減數恰與後一項的被減數相同，求和時中間項互相抵消。
以上題目雖然各有其特點，但總的原則是要善於改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。
此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：餘下的項前後的位置前後是對稱的，餘下的項前後的正負性是相反的。
教師：最後，留幾個問題供大家課後繼續研究，希望大家能給出解答。大家仔細觀察，和習題中的題目具有哪些相似之處，聯絡在**？又有哪些不同，可以模擬的方法是哪些？
1．求和：
2．求數列的前n項和？
（）3．求和：
【教有所思】
本節課心智教育方式之題組教學法。充分體現學生是主體，問題是中心，探索是主線。課堂是師生共同參與課堂活動的舞台。
「問題」是解決人類思維的一種普遍的表現形式，也是心理學家們熱衷的重要研究課題之一。在數學教學中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應用和學生思維方法的訓練與提高，以及實際應用能力和創新能力的增強。無不從「問題」開始，在研究問題﹑解決問題的過程中努力實現。
因此，課堂教學實質上就是依據教材內容和學生實際，師生重組舊知識，不斷發現問題﹑研究問題﹑解決問題的活動。老師的作用是如何將學生的思路所隱藏的數學思想和方法挖掘出來，深化並完善它。小組討論的方式有利於培養學生的合作精神，互相啟迪，互相促進。
從而在活動的過程中不斷培養學生的科學素養和創新思維習慣。
數列求和教案
課題 數列的求和 考綱要求 1.熟練掌握等差 等比數列的求和公式 2.掌握非等差 等比數列求和的幾種常見方法.考點回顧 求和是數列問題中考查的乙個重要方面，而且常與不等式 函式等其他知識綜合考查，這樣可以很好的考查邏輯推理能力，近幾年新課標高考試題中時有出現，因此，這類綜合問題有可能成為高考的命題方...
等差數列求和教案
教學目標 1.通過教學使學生理解等差數列的前項和公式的推導過程，並能用公式解決簡單的問題.2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想.教學重點，難點 教學重點是等差數列的前項和公式的推導和應用，難點是獲得推導公式的思路.教學用具 實物投...
《等差數列求和公式》教案
2 發現 問題3 由前面的例子，不難用逆序相加法推出 3 公式應用 例題1 2008年北京奧運會的體育館已初步建成，其中有一塊地的方磚成扇形鋪開，有人數了第一排的方磚個數為10個，最後一排的方磚個數為2008個，而且一共有36排，問這一塊地的方磚有多少塊？本例提供了許多資料，學生可以從題目條件發現，...