第六章第四節數列求和
執筆：李建軍審核：數學備考小組
【目標與要求】（（1）結合等差、等比數列求和公式的推導，掌握『倒序相加』和『錯位相減』求數列前n項和的方法，並感受其蘊含的數學思想；
（2）能夠通過『分組求和法』將陌生的數列分解成熟悉的數列進行求和；
（3）了解『裂項相消』求數列前n項和的方法，感受其蘊含的數學思想
【回顧與思考】
1. 公式法-----直接轉化為或求和；
幾個重要的結論：
（1） ；
（2（3
2.錯位相減法------主要用於求數列的前n項和，其中、分別是和數列。如：
求和：3.倒序相加法-------先倒序書寫這個數列，然後再把原數列和倒寫後的數列對應項相加可以求得原數列的前項和。如：
求的值解：設…………. ①
將①式右邊反序得
反序）又因為 ①+②得反序相加）
＝89 ∴ s＝44.5
4.分組求和法-------有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.如：
求數列的前n項和：，…
5.列項法-------這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.如：
求和【考點剖析】
考點1：分組求和法-
1、（1）求和＝7＋77＋777＋…＋
解：＝，
∴ ；
（2）求和
解： ＝
。（注意：項數是n＋1項,不是n項）
考點2：錯位相減法
2. 求數列的前n項和sn.
∵sn＝＋＋＋ ……＋＋
∴sn＝＋＋＋…….＋＋
兩式相減，得 sn同分母錯項相消）
1－－ 。
∴sn＝2－－。於是，sn<2, 所以2sn<22＝4。
3.設數列滿足，．
（ⅰ）求數列的通項；
（ⅱ）設，求數列的前項和．
(i)驗證時也滿足上式，
(ii)，
考點3：裂項法
4. 為等差數列，an≠0, (n∈n),d為公差。
求證：＋＋……＋＝。
證明：1）d＝0時，an＝a1(n∈n),
左式＝＋……＋＝，右式＝＝，∴左式＝右式。
n－1個
2)d≠0時，an－an－1＝d，∴
∴左式＝（－）＝（）＝＝右式。
5..（1） ；
（2解：1) ∴
2）∵∴原式1.
考點4：倒序相加法
5. 求證：
證明： 設
把①式右邊倒轉過來得
反序） 又由可得
①+②得反序相加）
【鞏固練習】溫故知新，請完成《備考指南》練習冊p.89--90
【提高練習】
1. 求數列的前n項和；
解 ：因為，所以
（分組）
前乙個括號內是乙個等比數列的和，後乙個括號內是乙個等差數列的和，因此
2.求和
解：，從而3. 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解裂項）
∴ 數列的前n項和
裂項求和）
4. 設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．
所以，．
（ⅱ）．
，①，②
②－①得，
．5.已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
6. 在數列中，
（i）設，求數列的通項公式
（ii）求數列的前項和
分析：（i）由已知有
利用累差迭加即可求出數列的通項公式: ()
（ii）由（i）知,
=而,又是乙個典型的錯位相減法模型，
易得 =7.
數列求和方法彙總 含答案
一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1 等差數列求和公式 2 等比數列求和公式 例1 已知，求的前n項和.解 由 由等比數列求和公式得利用常用公式 1 1.設sn 1 2 3 n，n n 求的最大值.二 錯位相減法求和 這種方法是在推導等比數列的前n項和...
數列求和方法
1.公式法 等差數列求和公式 sn n a1 an 2 na1 n n 1 d 2 等比數列求和公式 sn na1 q 1 sn a1 1 qn 1 q a1 an q 1 q q 1 2.錯位相減法 適用題型 適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式 分別是等差數列和等比數列.sn a1b...
數列求和方法
數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。而數列求和又是數列問題的精髓,重中之重，往往是進一步處理問題的基礎,常與函式 不等式 極限糅合命題，有一定的綜合性.除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。下面就把我的積累與大家分享，不當之處，敬請批評指正。一 利用常用...