第12講與相交有關概念及平行線的判定
考點·方法·破譯
1．了解在平面內，兩條直線的兩種位置關係：相交與平行.
2．掌握對頂角、鄰補角、垂直、平行、內錯角、中旁內角的定義，並能用圖形或幾何符號表示它們.
3．掌握直線平行的條件，並能根據直線平行的條件說明兩條直線的位置關係.
經典·考題·賞析
【例1】如圖，三條直線ab、cd、ef相交於點o，一共構成哪幾對對頂角？一共構成哪幾對鄰補角？
【解法指導】
⑴對頂角和鄰補角是兩條直線所形成的圖角.
⑵對頂角：有乙個公共頂點，並且乙個角的兩邊是另乙個角的兩邊的反向延長線.
⑶鄰補角：兩個角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.
有6對對頂角. 12對鄰補角.
【變式題組】
01．如右圖所示，直線ab、cd、ef相交於p、q、r，則：
⑴∠arc的對頂角是鄰補角是中有幾對對頂角，幾對鄰補角？
02．當兩條直線相交於一點時，共有2對對頂角；
當三條直線相交於一點時，共有6對對頂角；
當四條直線相交於一點時，共有12對對頂角.
問：當有100條直線相交於一點時共有對頂角.
【例２】如圖所示，點o是直線ab上一點，oe、of分別平分∠boc、
∠aoc．
⑴求∠eof的度數；
⑵寫出∠boe的餘角及補角.
【解法指導】解這類求角大小的問題，要根據所涉及的角的定義，以及各角的數量關係，把它們轉化為代數式從而求解；
【解】⑴∵oe、of平分∠boc、∠aoc ∴∠eoc＝∠boc，∠foc＝∠aoc ∴∠eof＝∠eoc＋∠foc＝∠boc＋∠aoc＝ 又∵∠boc＋∠aoc＝180° ∴∠eof＝×180°＝90° ⑵∠boe的餘角是：∠cof、∠aof；∠boe的補角是：∠aoe.
【變式題組】
01．如圖，已知直線ab、cd相交於點o，oa平分∠eoc，且∠eoc＝100°，則∠bod的度數是（ ）
a．20° b． 40° c．50d．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，則∠4
【例３】如圖，直線l1、l2相交於點o，a、b分別是l1、l2上的點，試用三角尺完成下列作圖：
⑴經過點a畫直線l2的垂線.
⑵畫出表示點b到直線l1的垂線段.
【解法指導】垂線是一條直線，垂線段是一條線段.
【變式題組】
01．p為直線l外一點，a、b、c是直線l上三點，且pa＝4cm，pb＝5cm，pc＝6cm，則點p到直線l的距離為（ ）
a．4cm b． 5cm c．不大於4cm d．不小於6cm
02 如圖，一輛汽車在直線形的公路ab上由a向b行駛，m、n為位於公路兩側的村莊；
⑴設汽車行駛到路ab上點p的位置時距離村莊m最近.行駛到ab上點q的位置時，距離村莊n最近，請在圖中的公路上分別畫出點p、q的位置.
⑵當汽車從a出發向b行駛的過程中，在的路上距離m村越來越近..在
的路上距離村莊n越來越近，而距離村莊ｍ越來越遠.
【例４】如圖，直線ab、cd相交於點o，oe⊥cd，of⊥ab，∠dof＝65°，求∠boe和∠aoc的度數.
【解法指導】圖形的定義現可以作為判定圖形的依據，也可以作為該圖形具備的性質，由圖可得：∠aof＝90°，of⊥ab．
【變式題組】
01．如圖，若eo⊥ab於o，直線cd過點o，∠eod︰∠eob＝1︰3，求∠aoc、∠aoe的度數.
02．如圖，o為直線ab上一點，∠boc＝3∠aoc，oc平分∠aod．
⑴求∠aoc的度數；
⑵試說明od與ab的位置關係.
03．如圖，已知ab⊥bc於b，db⊥eb於b，並且∠cbe︰∠abd＝1︰2，請作出∠cbe的對頂角，並求其度數.
【例５】如圖，指出下列各組角是哪兩條直線被哪一條直線所截而得到的，並說出它們的名稱：
∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6：
∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指導】正確辯認同位角、內錯角、同旁內角的思路是：首先弄清所判斷的是哪兩個角，其次是找到這兩個角公共邊所在的直線即截線，其餘兩條邊所在的直線就是被截的兩條直線，最後確定它們的名稱.
【變式題組】
01．如圖，平行直線ab、cd與相交直線ef，gh相交，圖中的同旁內角共有（ ）
a．4對 b． 8對 c．12對 d．16對
02．如圖，找出圖中標出的各角的同位角、內錯角和同旁內角.
03．如圖，按各組角的位置判斷錯誤的是（ ）
a．∠1和∠2是同旁內角
b．∠3和∠4是內錯角
c．∠5和∠6是同旁內角
d．∠5和∠7是同旁內角
【例６】如圖，根據下列條件，可推得哪兩條直線平行？並說明理由
⑴∠cbd＝∠adb；
⑵∠bcd＋∠adc＝180°
⑶∠acd＝∠bac
【解法指導】圖中有即即有同旁內
角，有「」即有內錯角.
【解法指導】⑴由∠cbd＝∠adb，可推得ad∥bc；根據內錯角相等，兩直線平行.
⑵由∠bcd＋∠adc＝180°，可推得ad∥bc；根據同旁內角互補，兩直線平行.
⑶由∠acd＝∠bac可推得ab∥dc；根據內錯角相等，兩直線平行.
【變式題組】
01．如圖，推理填空.
⑴∵∠a已知）
∴ac∥ed
⑵∵∠c已知）
∴ac∥ed
⑶∵∠a已知）
∴ab∥df
02．如圖，ad平分∠bac，ef平分∠dec，且∠1＝∠2，試說明de與ab的位置關係.
解：∵ad是∠bac的平分線（已知）
∴∠bac＝2∠1（角平分線定義）
又∵ef平分∠dec（已知）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ab∥de
03．如圖，已知ae平分∠cab，ce平分∠acd．∠cae＋∠ace＝90°，求證：ab∥cd．
04．如圖，已知∠abc＝∠acb，be平分∠abc，cd平分∠acb，∠ebf＝∠efb，求證：cd∥ef.
【例７】如圖⑴，平面內有六條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中，至少有乙個角小於31°.
【解法指導】如圖⑵，我們可以將所有的直線移動後，使它們相交於同一點，此時的圖形為圖⑵.
證明：假設圖⑵中的12個角中的每乙個角都不小於31°
則12×31°＝372°＞360°
這與一周角等於360°矛盾
所以這12個角中至少有乙個角小於31°
【變式題組】
01．平面內有18條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中至少有乙個角小於11°.
02．在同一平面內有2010條直線a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那麼a1與a2010的位置關係是
03．已知n（n＞2）個點p1，p2，p3…pn.在同一平面內沒有任何三點在同一直線上，設sn表示過這幾個點中的任意兩個點所作的所有直線的條數，顯然：s2＝1，s3＝3，s4＝6，∴s5＝10…則sn
演練鞏固·反饋提高
01．如圖，∠eac＝∠adb＝90°.下列說法正確的是（ ）
a．α的餘角只有∠b b．α的鄰補角是∠dac
c．∠acf是α的餘角 d．α與∠acf互補
02．如圖，已知直線ab、cd被直線ef所截，則∠emb的同位角為（ ）
a．∠amf b．∠bmf c．∠encd．∠end
03．下列語句中正確的是（ ）
a．在同一平面內，一條直線只有一條垂線
b．過直線上一點的直線只有一條
c．過直線上一點且垂直於這條直線的直線有且只有一條
d．垂線段就是點到直線的距離
04．如圖，∠bac＝90°，ad⊥bc於d，則下列結論中，正確的個數有（ ）
①ab⊥ac ②ad與ac互相垂直 ③點c到ab的垂線段是線段ab ④線段ab的長度是點b到ac的距離 ⑤垂線段ba是點b到ac的距離 ⑥ad＞bd
a．0 b． 2 c．4 d．6
05．點a、b、c是直線l上的三點，點p是直線l外一點，且pa＝4cm，pb＝5cm，pc＝6cm，則點p到直線l的距離是（ ）
a．4cm b．5cm c．小於4cmd．不大於4cm
06．將一副直角三角板按圖所示的方法旋轉（直角頂點重合），則∠aob＋∠doc＝ .
07．如圖，矩形abcd沿ef對折，且∠def＝72°，則∠aeg
08．在同一平面內，若直線a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…則a1 a10.（a1與a10不重合）
09．如圖所示，直線a、b被直線c所截，現給出下列四個條件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判斷a∥b的條件的序號是
10．在同一平面內兩條直線的位置關係有
11．如圖，已知be平分∠abd，de平分∠cdb，且∠e＝∠abe＋∠edc．試說明ab∥cd？
12．如圖，已知be平分∠abc，cf平分∠bcd，∠1＝∠2，那麼直線ab與cd的位置關係如何？
13．如圖，推理填空：
⑴∵∠a已知）
∴ac∥ed
⑵∵∠2已知）
∴ac∥ed
相交線與平行線
相交線與平行線 2011 3 12 1.如果兩個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角的關係是 a.相等 b.互補 c.相等或互補 d.不能確定 2.一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎後，仍在原來的方向上平行前進，那麼兩次拐彎的角度可能是 a 第一次右拐50 第二次左拐130 第一次左拐50 第二次右拐5...
相交線與平行線
1.下圖中，1和 2是同位角的是 a b c d 2.如圖4，直線ab cd相交於點o，oe ab於o，若 coe 55 則 bod的度數為 a.40 b.45 c.30 d.35 3.如圖5，已知on l om l 所以om與on重合，其理由是 a.過兩點只有一條直線 b.經過一點有且只有一條直線...
平行線與相交線
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