一、知識結構
在平行線知識的基礎上，教科書以學生對長方體的直觀認識為基礎，通過觀察長方體的某些稜與面、面與面的不相交，進而把它們想象成空間裡的直線與平面、平面與平面的不相交，來建立空間裡平行的概念．培養學生的空間觀念．
二、重點、難點分析
能認識空間裡直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關係既是本節教學重點也是難點．本節知識是線線平行的相關知識的延續，對培養學生的空間觀念，進一步研究空間中的點、線、面、體的關係具有重要的意義．
1．我們知道在同一平面內的兩條直線的位置關係有兩種：相交或平行，由於垂直和平行這兩種關係與人類的生產、生活密切相關，所以這兩種空間位置關係歷來受到人們的關注，前面我們學過在平面內直線與直線垂直的情況，以及在空間裡直線與平面，平面與平面的垂直關係．
2．例如：在圖中長方體的稜aa'與面abcd垂直,面a'abb'與面abcd互相垂直並且當時我們還從觀察中得出下面兩個結論:
(1)一條稜垂直於乙個麵內兩條相交的稜,這條稜與這個面就互相垂直．
(2)乙個面經過另乙個面的一條垂直的稜,這兩個面就互相垂直．
正如上述，在空間裡有垂直情況一樣，在空間裡也有平行的情況，首先看稜ab與面a'b'c'd'的位置關係,把稜ab向兩方延長,面a'b'c'd'向各個方向延伸,它們總也不會相交,像這樣的稜和面就是互相平行的,同樣,稜ab與面dd'c'c是互相平行的,稜aa'與面bb'c'c、與面dd'c'c也是互相平行的．
再看面abcd與a'b'c'd',這兩個面無論怎樣延展,它們總也不會相交,像這樣的兩個面是互相平行的,面aa'b'b與dd'c'c也是互相平行的．
3．直線與平面、平面與平面平行的判定
（1）不在平面內的一條直線，只要與平面內的某一條直線平行，那麼，這條直線與這個平面平行。（直線與平面平行的判定）
（2）如果乙個平面內兩條直線都與另乙個平面平行，那麼這兩個平面互相平行。（空間裡平面與平面平行的判定）
三、教法建議
1．空間裡的平行關係，是高中學習《立體幾何》的重要部分，本節知識在初中階段讓學生積累一些感性的認識．學習這節內容要注意聯絡實物（如火柴盒，教室）中的線與線、線與面、面與面的關係就容易得多了．
2．本節在已有的對長方體的直觀認識的基礎上，通過對長方體的稜與面、面與面的不相交的觀察，介紹了空間裡的直線與平面、平面與平面平行的關係．目的主要是培養空間思維，但只是乙個初步的感性認識，只需基本了解，不需要系統地學習．
3．教學時應該注意的是這裡所說的平面一定是無限延伸的．兩面牆平行，是指兩面牆所在的平面平行，不是指牆這一小部分平行．
教學設計示例
一、教學目標
1．能借助長方體的稜與面、面與面的平行關係，說出空間裡直線與平面、平面與平面的平行關係．
2．此外，在教學「空間裡的平行關係」中，要培養學生的空間想象力．
3．通過平行關係在生活中的應用，培養學生的應用意識．
二、引導性材料
複習提問：
1．平面裡，兩直線的位置關係有哪些？在空間裡，兩直線的位置關係又有哪些？
2．試說出兩直線平行的意義．
前面，我們在學習「兩直線互相垂直」時，曾經學習過空間裡的垂直關係．（可讓學生以教室為例項，說出一些線與面，面與面的垂直關係．）
前幾節課，又學習了「平行線」的有關知識，在實際生活中常常也說什麼與什麼「平行」．（教師演示：一根木條或鉛筆與桌面平行．）這種「平行」關係是什麼樣的平行關係呢？你也能舉出一些這樣的例項嗎？
這節課就研究這些問題．
三、知識產生和發展過程的教學設計
問題1—1：觀察下圖（也可要求學生攜帶乙個長方體的包裝紙盒）中的長方體，稜ab與面a'b'c'd'的位置關係是什麼？如果將稜ab向兩邊無限伸展，同時也將麵a'b'c'd'向各個方向延展，它們之間有無可能相交？
問題1－2：圖中，你能以稜ab與面a'b'c'd'為乙個具體例子，用類似於定義「平行線」的方法，給直線與平面平行下乙個定義嗎？
（由學生口答，教師幫助完善，得出定義．）
問題1－3：圖中，除了稜ab外，還有與面a'b'c'd'平行的稜嗎？有哪幾條？
（由學生分別說出稜bc，cd，ad都與面a'b'c'd'平行．）
問題1－4：除了面a'b'c'd'外，稜ab還與哪個平面平行？
問題2—1：如下圖的長方體中，面abcd與面a'b'c'd'能否相交？怎樣定義空間裡的兩平面平行？
問題2－2：觀察你自己攜帶的長方體紙盒，能說出哪些平面平行嗎？
(可由學生討論後，請一位學生帶上紙盒，給學生邊演示，邊講解．)
四、例題解析
例題：如下圖，在長方體中，稜cd與哪些面平行？面a'b'c'd'與哪些稜平行？
答：稜cd與面a'b'bc、面a'b'c'd'平行；
面a'add'稜bb、稜bc、稜c'c、稜b'c平行；
面a'b'ba與面d'c'cd平行．
（教師可根據教學的實際情況，對此例進行變式，如提出不同位置的線面．面面平行的問題．也可讓學生自己來提出問題．由學生自己借助長方體紙盒解答這些問題，以增強學生對空間平行關係的感知，發展想象能力．）
六、小結
本堂課以長方體（教室或紙盒）為實物模型，通過觀察長方體的稜與面、面與面的位置關係，並把它們想像成空間裡的直線與平面、平面與平面，研究了空間裡的線與面、面與面平行的關係．
我們生活在空間裡，因而要養成用數學的眼光去觀察世界的習慣，並逐步地學會用數學知識去研究問題、解決問題．
3．關於平方差公式的特徵，在學習時應注意：
（1）左邊是兩個二項式相乘，並且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．
（2）右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）．
（3）公式中的和可以是具體數，也可以是單項式或多項式．
（4）對於形如兩數和與這兩數差相乘，就可以運用上述公式來計算．
三、教法建議
1．可以將「兩個二項式相乘，積可能有幾項」的問題作為課題引入，目的是激發學生的學習興趣，使學生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特徵，上公升到一定的理論認識，加以實踐檢驗，從而培養學生觀察、概括的能力．
2．通過學生自己的試算、觀察、發現、總結、歸納，得出為什麼有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數的平方差，而另兩項恰是互為相反數，合併同類項時為零，即
(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．
這樣得出平方差公式，並且把這類乘法的實質講清楚了．
3．通過例題、練習與小結，教會學生如何正確應用平方差公式．這裡特別要求學生注意公式的結構，教師可以用對應思想來加強對公式結構的理解和訓練，如計算(1+2x)(1-2x)，
(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2
(a + b)(a - b)=a2- b2．
這樣，學生就能正確應用公式進行計算，不容易出差錯．
另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應用公式，可以結合以前學過的運算法則，經過變形後靈活應用公式，培養學生解題的靈活性．
教學目標
1．使學生理解和掌握平方差公式，並會用公式進行計算；
2．注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力．
教學重點和難點
重點：平方差公式的應用．
難點：用公式的結構特徵判斷題目能否使用公式．
教學過程設計
一、師生共同研究平方差公式
我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合併同類項前應該有幾項？合併同類項以後，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子．
讓學生動腦、動筆進行**，並發表自己的見解．教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：
兩個二項式相乘，乘式具備什麼特徵時，積才會是二項式？為什麼具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什麼特徵？
(當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式．這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合併這兩項的結果為零，於是就剩下兩項了．而它們的積等於乘式中這兩個數的平方差)
繼而指出，在多項式的乘法中，對於某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，並加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算．以後經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式．
在此基礎上，讓學生用語言敘述公式．
二、運用舉例變式練習
例1 計算(1+2x)(1-2x)．
解：(1+2x)(1-2x)
=12-(2x)2
=1-4x2．
教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特徵，並讓學生說出本題中a，b分別表示什麼．
例2 計算(b2+2a3)(2a3-b2)．
解：(b2+2a3)(2a3-b2)
＝(2a3+b2)(2a3-b2)
＝(2a3)2-(b2)2
＝4a6-b4．
教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算．
課堂練習
運用平方差公式計算：
(l)(x+a)(x-a)； (2)(m+n)(m-n)；
(3)(a+3b)(a-3b)； (4)(1-5y)(l+5y)．
例3 計算(-4a-1)(-4a+1)．
讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓採用不同解法的兩個學生進行板演．
解法1：(-4a-1)(-4a+1)
=[-(4a+l)][-(4a-l)]
=(4a+1)(4a-l)
=(4a)2-l2
=16a2-1．
解法2：(-4a-l)(-4a+l)
=(-4a)2-l
=16a2-1．
根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而後看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果．解法2把-4a看成乙個數，把1看成另乙個數，直接寫出(-4a)2-l2後得出結果．採用解法2的同學比較注意平方差公式的特徵，能看到問題的本質，運算簡捷．因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特徵，然後正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案．
課堂練習
1．口答下列各題：
(l)(-a+b)(a+b)； (2)(a-b)(b+a)；
(3)(-a-b)(-a+b)； (4)(a-b)(-a-b)．
立體幾何總結
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體.2 柱，錐，臺，球的結構特徵 1.稜柱 1.1稜柱 有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍...
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下 難以建立座標系時再考慮 平行關係 線線平行 1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4 平行公理 3.線面平行的性質。4.麵麵平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。線面平行 1.直線與平面無公共點。2.平面外的一...
空間立體幾何
1.如圖，在直三稜柱abc a1b1c1中，acb 90 bac 30 bc 1，aa1 m是稜cc1的中點 1 求證 a1b am 2 求直線am與平面aa1b1b所成角的正弦值 2.如圖，已知正三稜柱abcva1b1c1的底面邊長為2，側稜長為3，點e在側稜aa1上，點f在側稜bb1上，且ae ...