一．（本題滿分8分）
在正方形中任取一點，求使得方程有兩個實根的概率．
解：設「方程有兩個實根」，所求概率為．
設所取的兩個數分別為與，則有，．
因此該試驗的樣本空間與二維平面點集
中的點一一對應2分
隨機事件與二維平面點集，即與點集
…………………2分
中的點一一對應．
所以4分
二．（本題滿分8分）
從以往的資料分析得知，在出口罐頭導致索賠的事件中，有是質量問題；有是數量短缺問題；有是產品包裝問題．又知在質量問題的爭議中，經過協商解決的佔；在數量短缺問題的爭議中，經過協商解決的佔；在產品包裝問題的爭議中，經過協商解決的佔．如果在發生的索賠事件中，經過協商解決了，問這一事件不屬於質量問題的概率是多少？
解：設「事件屬於質量問題」， 「事件屬於數量短缺問題」，
「事件屬於產品包裝問題」．
「事件經過協商解決」．所求概率為．…………………2分
由bayes公式，得
2分2分
所以，．…………………2分
三．（本題滿分8分）
設隨機事件滿足：．證明：對任意隨機事件，有．
解：因為，所以，．…………………2分
所以，對任意的隨機事件，由，以及概率的單調性及非負性，有
，因此有．…………………2分
所以，對任意的隨機事件，由，以及與的互不相容性，得
4分四．（本題滿分8分）
設隨機變數的密度函式為
，並且已知，試求方差．
解：由及，得
2分2分
由此得線性方程組 ．
解此線性方程組，得．…………………2分
所以，，
所以，．…………………2分
五．（本題滿分8分）
經驗表明，預定餐廳座位而不來就餐的顧客比例為．某餐廳有個座位，但預定給了位顧客，問到時顧客來到該餐廳而沒有座位的概率是多少？
解：設表示52位預訂了座位的顧客中來就餐的顧客數，則．…………1分
則所求概率為．…………………2分
2分3分
六．（本題滿分10分）
將一顆均勻的骰子獨立地擲次，令表示這次出現的點數之和，求（5分）與（5分）．
解：設表示第次出現的點數，．
則相互獨立，而且．
而的分布列為2分
所以，2分所以，由數學期望的性質，得
2分2分所以，由的相互獨立性，及數學期望的性質，得
2分七．（本題滿分10分）
設隨機變數，求隨機變數的密度函式．
解：由題意，隨機變數的密度函式為，．………1分
設隨機變數的分布函式為，則有
2分 所以，當時，；…………………1分
當時，2分 因此有2分
所以，隨機變數的密度函式為
2分八．（本題滿分10分）
設二維隨機變數的聯合密度函式為
，求與的相關係數．
解：，2分 ，
2分 ，
所以有2分
，2分因此，有
2分九．（本題滿分10分）
一生產線生產的產品成箱包裝，假設每箱平均重，標準差為．若用最大載重量為的汽車來承運，試用中心極限定理計算每輛車最多裝多少箱，才能保證汽車不超載的概率大於（設，其中是標準正態分佈的分布函式）．
解：若記表示第箱的重量，．則獨立同分布，且
2分再設表示一輛汽車最多可裝箱貨物時的重量，則有 ．
由題意，得 ．…………4分
查正態分佈表，得2分
當時，；時，，故取，即每輛汽車最多裝箱貨物．…………………2分
十．（本題滿分8分）
設總體，是取自該總體中的乙個樣本．令
，試確定常數，使得隨機變數服從分布．
解：因為，，而且相互獨立，所以
，．…………………2分
因此，．…………………2分
而且與相互獨立．因此由分布的定義，知
，…………………2分
即．取，則有．…………………2分
十一．（本題滿分12分）
設總體的密度函式為
，其中為引數，是從總體中抽取的乙個簡單隨機樣本．⑴ 求引數的矩估計量（6分）；⑵ 求引數的最大似然估計量（6分）．
證明：1 ，…………………3分
因此，得方程 ，
解方程，得，
將替換成，得引數的矩估計量為．…………………3分
2 似然函式為，…………………2分
取對數，得 ，
對求導，得 ，
所以，得似然方程2分
解似然方程，得，
因此，引數的最大似然估計量為2分
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