1.（本小題滿分15分）蕪湖市
如圖，在平面直角座標系中放置一直角三角板，其頂點為，，，將此三角板繞原點順時針旋轉，得到．
（1）如圖，一拋物線經過點，求該拋物線解析式；
（2）設點是在第一象限內拋物線上一動點，求使四邊形的面積達到最大時點的座標及面積的最大值．
解：（1）∵拋物線過
設拋物線的解析式為 2分
又∵拋物線過，將座標代入上解析式得：
4分即滿足條件的拋物線解析式為 5分
（2）（解法一）：如圖1，∵為第一象限內拋物線上一動點，
設則點座標滿足
連線 8分
= 12分
當時，最大．
此時，．即當動點的座標為時， 14分
最大，最大面積為 15分
（解法二）：如圖2，連線為第一象限內拋物線上一動點，
且的面積為定值，
最大時必須最大．
∵長度為定值，∴最大時點到的距離最大．
即將直線向上平移到與拋物線有唯一交點時，
到的距離最大． 6分
設與直線平行的直線的解析式為聯立得
令解得此時直線的解析式為： 9分
解得∴直線與拋物線唯一交點座標為 10分
設與軸交於則
過作於在中，
過作於則到的距離 13分
此時四邊形的面積最大．
∴的最大值=
15分2.（14分）如圖，拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，四邊形obhc為矩形，ch的延長線交拋物線於點d（5，2），鏈結bc、ad. （福建龍巖市）
（1）求c點的座標及拋物線的解析式；
（2）將△bch繞點b按順時針旋轉90°後再沿x軸對折得到
△bef（點c與點e對應），判斷點e是否落在拋物線上，並說明理由；
（3）設過點e的直線交ab邊於點p，交cd邊於點q. 問是否存在點p，使直線pq分梯形abcd的面積為1∶3兩部分？若存在，求出p點座標；若不存在，請說明理由.
解：（1）∵四邊形obhc為矩形，∴cd∥ab，
又d（5，2），
∴c（0，2），oc=22分
解得 ∴拋物線的解析式為： …… 4分
（2）點e落在拋物線上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得.
解得x1=1，x2=4. ∴a（4，0），b（1，06分
oa=4，ob=1.
由矩形性質知：ch=ob=1，bh=oc=2，∠bhc=90°，
由旋轉、軸對稱性質知：ef=1，bf=2，∠efb=90°，
點e的座標為（3，－17分
把x=3代入，得，
點e在拋物線上8分
（3）法一：存在點p（a，0），延長ef交cd於點g，易求of=cg=3，pb=a－1.
s梯形bcgf = 5，s梯形adgf = 3，記s梯形bcqp = s1，s梯形adqp = s2，
下面分兩種情形：
當s1∶s2 =1∶3時，，
此時點p在點f（3，0）的左側，則pf = 3－a，
由△epf∽△eqg，得，則qg=9－3a，
∴cq=3－(9－3a) =3a －6
由s1=2，得，解得；………………… 11分
當s1∶s2=3∶1時，
此時點p在點f（3，0）的右側，則pf = a－3，
由△epf∽△eqg，得qg = 3a－9，∴cq = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由s1= 6，得，解得.
綜上所述：所求點p的座標為（，0）或（，0）……… 14分
法二：存在點p（a，0）. 記s梯形bcqp = s1，s梯形adqp = s2，易求s梯形abcd = 8.
當pq經過點f（3，0）時，易求s1=5，s2 = 3，
此時s1∶s2不符合條件，故a≠3.
設直線pq的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴q（3a－6，2） ……… 10分
∴cq = 3a－6，bp = a－1，.
下面分兩種情形：
①當s1∶s2 = 1∶3時，= 2；
∴4a－7 = 2，解得12分
②當s1∶s2 = 3∶1時，；
∴4a－7 = 6，解得；
綜上所述：所求點p的座標為（，0）或（，0）………… 14分
[說明：對於第（3）小題，只要考生能求出或兩個答案，就給6分. ]
3.（本題滿分13分）如圖，已知拋物線c1：的頂點為p，與x軸相交於a、b兩點（點a在點b的左邊），點b的橫座標是1．
（1）求p點座標及a的值；（4分）
（2）如圖（1），拋物線c2與拋物線c1關於x軸對稱，將拋物線c2向右平移，平移後的拋物線記為c3，c3的頂點為m，當點p、m關於點b成中心對稱時，求c3的解析式；（4分）
（3）如圖（2），點q是x軸正半軸上一點，將拋物線c1繞點q旋轉180°後得到拋物線c4．拋物線c4的頂點為n，與x軸相交於e、f兩點（點e在點f的左邊），當以點p、n、f為頂點的三角形是直角三角形時，求點q的座標．（5分）
2023年寧德市初中畢業、公升學考試
解：（1）由拋物線c1： 得
頂點p的為（-2，-5） ………2分
∵點b（1，0）在拋物線c1上
∴ 解得，a＝594分
（2）連線pm，作ph⊥x軸於h，作mg⊥x軸於g
∵點p、m關於點b成中心對稱
∴pm過點b，且pb＝mb
∴△pbh≌△mbg
∴mg＝ph＝5，bg＝bh＝3
∴頂點m的座標為（4，56分
拋物線c2由c1關於x軸對稱得到，拋物線c3由c2平移得到
∴拋物線c3的表示式為 ………8分
（3）∵拋物線c4由c1繞點x軸上的點q旋轉180°得到
∴頂點n、p關於點q成中心對稱
由（2）得點n的縱座標為5
設點n座標為（m，59分
作ph⊥x軸於h，作ng⊥x軸於g
作pk⊥ng於k
∵旋轉中心q在x軸上
∴ef＝ab＝2bh＝6
∴fg＝3，點f座標為（m+3，0）
h座標為（2，0），k座標為（m，-5），
根據勾股定理得
pn2＝nk2+pk2＝m2+4m+104
pf2＝ph2+hf2＝m2+10m+50
nf2＝52+32＝3410分
①當∠pnf＝90?時，pn2+ nf2＝pf2，解得m＝443，∴q點座標為（193，0）
②當∠pfn＝90?時，pf2+ nf2＝pn2，解得m＝103，∴q點座標為（23，0）
③∵pn＞nk＝10＞nf，∴∠npf≠90?
綜上所得，當q點座標為（193，0）或（23，0）時，以點p、n、f為頂點
的三角形是直角三角形13分
4.已知，如圖1，過點作平行於軸的直線，拋物線上的兩點的橫座標分別為1和4，直線交軸於點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連線福建莆田——
（1）求點的座標；
（2）求證：；
（3）點是拋物線對稱軸右側圖象上的一動點，過點作交軸於點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的座標；若不存在，請說明理由．
（1）解:方法一，如圖1，當時,
當時,∴ 1分
2分設直線的解析式為 3分
則解得∴直線的解析式為 4分
當時, 5分
方法二:求兩點座標同方法一,如圖2,作,,垂足分別為、,交軸於點,則四邊形和四邊形均為矩形,設 3分
4分解得 5分
(2)證明：方法一：在中，
6分在中，由（1）得
7分8分方法二：由 （1）知
6分同理： 7分
同理：即 8分
（3）存在.
解：如圖3，作軸，垂足為點 9分
又 10分
設，則①當時，
11分解得 12分
②當時，
13分解得綜上，存在點、使得與相似. 14分
5.（本題滿分14分）（福建三明）
如圖，在平面直角座標系xoy中，拋物線與x軸交於a（1，0）、
b（5，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點c的座標；（4分）
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點d，將∠dcb繞點c按順時針方向旋轉，角的兩邊cd和cb與x軸分別交於點p、q，設旋轉角為（）．
①當等於多少度時，△cpq是等腰三角形？（5分）
②設，求s與t之間的函式關係式．（5分）
解：（1）根據題意，得 1分
解得2分
3分∴頂點c的座標為（3，2）． 4分
（2）①∵cd=db=ad=2，cd⊥ab，
∴∠dcb=∠cbd=45°． 5分
ⅰ）若cq=cp，則∠pcd=∠pcq=22.5°．
∴當=22.5°時，△cpq是等腰三角形． 6分
ⅱ）若cq=pq，則∠cpq=∠pcq=45°，
此時點q與d重合，點p與a重合．
∴當=45°時，
△cpq是等腰三角形． 7分
ⅲ）若pc=pq， ∠pcq=∠pqc=45°，此時點q與b重合，點p與d重合．
∴=0°，不合題意8分
二次函式影象
1 已知二次函式y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示，有下列5個結論 abc 0 b a c 4a 2b c 0 2c 3b a b m am b m 1且為實數 其中正確的個數是 a 2個 b 3個 c 4個 d 5個 答案 b 解析 試題分析 根據圖示可得a 0，b 0，c 0，則abc...
二次函式壓軸題
東城25 如圖，在直角梯形abcd中，ad bc,dc bc,ab 10,ad 6,dc 8,bc 12,點e在下底邊bc上，點f在ab 上 若ef平分直角梯形abcd的周長，設be的長為，試用含的代數式表示 bef的面積 是否存 段ef將直角梯形abcd的周長和面積同時平分？若存在，求出此時be的...
二次函式壓軸題
1 如圖，已知拋物線經過點a 1，0 b 3，0 c 0，3 三點 1 求拋物線的解析式 2 點m是線段bc上的點 不與b，c重合 過m作mn y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長 3 在 2 的條件下，連線nb nc，是否存在m，使 bnc的面積最大？若存在，求m的值 ...