第九章半形模型
模型1 倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構造全等三角形
已知如圖：
2 ∠2=∠aob；
②oa=ob。
連線f′b，將△fob繞點o旋轉
至△foa的位置，連線f′e、fe，
可得△oef′≌△oef。
模型分析
（1）半形模型的命名：存在兩個角度是一半關係，並且這兩個角共頂點；
（2）通過先旋轉全等再軸對稱全等，一般結論是證明線段和差關係；
（3）常見的半形模型是90°含45°，120°含60°。
模型例項
【模型分析】
例1．如圖，在四邊形abcd中，∠b+∠d=180°，ab=ad，e、f分別是線段bc、
cd上的點，且be+fd=ef。求證：∠eaf=∠bad。
例2．如圖，在四邊形abcd中，∠b+∠adc=180°，ab=ad,e、f分別是bc、cd延長
線上的點，且∠eaf=∠bad。求證：ef=be-fd。
例3．在等邊△abc的兩邊ab、ac上分別有兩點m、n，d為△abc外一點，
且∠mdn=60°，∠bdc=120°，bd=dc。**：當m、n分別**段ab、ac
上移動時，bm、nc、mn之間的數量關係。
（1）如圖①，當dm=dn時，bm、nc、mn之間的數量關係是
（2）如圖②，當dm≠dn時，猜想（1）問的結論還成立嗎？寫出你的猜想
並加以證明。
例4．已知，在等邊△abc中，點o是邊ac、bc 的垂直平分線的交點，m、n
分別在直線ac、bc上，且∠mon=60°。
（1）如圖①，當cm=cn時，m、n分別在邊ac、bc上時，請寫出am、cn、mn
三者之間的數量關係；
（2）如圖②，當cm≠cn時，m、n分別在邊ac、bc上時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖③，當點m在邊ac上，點n在bc的延長線上時，請直接寫出線段am、cn、mn三者之間的數量關係。
例5．如圖，已知正方形abcd中，∠man=45°，它的兩邊分別交線段cb、dc
於點m、n。
（1）求證：bm+dn=mn；
（2）作ah⊥mn於點h，求證：ah=ab。
例6.如圖，正方形abcd，m在cb延長線上，n在dc延長線，∠man=45°。
求證：mn=dn-bm。
例7．已知，如圖①，在rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac，點d、e分別為線段
bc上兩動點，若∠dae=45°。**線段bd、de、ec三條線段之間的數量
關係。小明的思路是：把△aec繞點a順時針旋轉90°，得到△abe′，連線e′d，使問題得勁解決。請你參考小明的思路**並解決以下問題：
（1）猜想bd、de、ec三條線段之間的數量關係式，並對你的猜想給予證明；
（2）當動點e**段bc上，動點d運動到線段cb的延長線上時，如圖②，
其它條件不變，（1）中**的結論是否發生改變？請說明你的猜想並給予證明。
【模型應用】
如圖①，已知四邊形abcd，∠eaf的兩邊分別與dc的延長線交於點f，與
cb的延長線交於點e連線ef。
（1）若四邊形abcd為正方形，當∠eaf=45°時，ef與df、be之間有怎樣
的數量關係？（只需直接寫出結論）
（2）如圖②，如果四邊形abcd中，ab=ad，∠abc與∠adc互補，當
∠eaf=∠bad時，ef與df、be之間有怎樣的數量關係？請寫出結論並證明；
（3）在（2）中，若bc=4，dc=7，cf=2，求△cef的周長（直接寫出結論即可）。
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