一線三等角模型
一.一線三等角概念
「一線三等角」是乙個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區對此有不同的稱呼， 「k 形圖」，「三垂直」，「弦圖」等，以下稱為「一線三等角」。
二.一線三等角的分類
全等篇 同側
銳角直角鈍角
異側相似篇
同側銳角直角鈍角
異側三、「一線三等角」的性質
1.一般情況下，如圖 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△aec∽△bde.
2.當等角所對的邊相等時，則兩個三角形全等.如圖 3-1，若 ce=ed，則△aec≌△bde.
3.中點型「一線三等角」
如圖 3-2，當∠1=∠2=∠3，且 d 是 bc 中點時，△bde∽△cfd∽△dfe.
4.「中點型一線三等角「的變式(了解)
如圖 3-3，當∠1=∠2 且時，點 o 是△abc 的內心.可以考慮構造「一線三等角」.
如圖 3-4「中點型一線三等角」通常與三角形的內心或旁心相關， 這是內心的性質，反之未必是內心.
在圖 3-4（右圖）中，如果延長 be 與 cf，交於點 p，則點 d 是△pef 的旁心.
5.「一線三等角」的各種變式（圖 3-5，以等腰三角形為例進行說明 ）
圖 3-5
其實這個第 4 圖，延長 dc 反而好理解.相當於兩側型的，不延長理解，以為是一種新型的，同側穿越型？不管怎麼變，都是由三等角確定相似三角形來進行解題
四、「一線三等角」的應用
1.「一線三等角」應用的三種情況.
a.圖形中已經存在「一線三等角」，直接應用模型解題；
b.圖形中存在「一線二等角」，不上「一等角」構造模型解題；
c.圖形中只有直線上乙個角，不上「二等角」構造模型解題.
體會：感覺最後一種情況出現比較多，尤其是壓軸題中，經常會有乙個特殊角或指導該角的三角函式值時，我經常構造「一線三等角」來解題.
2.在定邊對定角問題中，構造一線三等角是基本手段，尤其是直角座標系中的張角問題，在 x 軸或 y 軸（也可以是平行於 x 軸或 y 軸的直線）上構造一線三等角解決問題更是重要的手段.
3.構造一線三等角的步驟：找角、定線、構相似
座標系中，要講究「線」的特殊性
如圖 3-6，線上有一特殊角，就考慮構造同側型一線三等角
當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導線段的關係，過 c、d 兩點作直線 l 的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了「量化」的需要。
上面就是作輔助線的一般程式，看起來線條比較多，很多老師都認為一下子不容易掌握.
解題示範
例 1 如圖所示，一次函式與座標軸分別交於 a、b 兩點，點 p 是線段 ab 上乙個動點（不包括 a、b 兩端點），c 是線段 ob 上一點，∠opc=45°，若△opc 是等腰三角形,求點 p 的座標.
例 2 如圖所示，四邊形 abcd 中，∠c=90°,∠abd=∠dbc=22.5°，ae⊥bc 於 e，∠ade=67.5°，ab=6,則 ce= .
例 3 如圖，四邊形 abcd 中,∠abc=∠bad=90°，∠acd=45°，ab=3，ad=5.求 bc 的長.
例 4 如圖，△abc 中,∠bac=45°，ad⊥bc，bd=2，cd=3,求 ad 的長.
一線三等角，補形最重要，內構勤思考，外構更精妙.找出相似形，
比例不能少.巧設未知數，妙解方程好
還是可以縱橫斜三個方向構造，座標系中一般考慮縱橫兩個方向構造
例 5 如圖，在△abc 中，∠bac=135°， ac= ab, ad⊥ac 交 bc 於點 d，若 ad =， 求△abc的面積
當然有45°或 135°等特殊角，據此也可以構造不同的一線三等角
一線三等角所有的構造都是把分居定角兩側的資料集中在一起，是相似集中條件的一種 .
大練身手：
例7：在平面直角座標系中，已知點a（1，0），b（0，3），c（－3，0），d是線段ab上一點，cd交y軸於e，且s△bce ＝2s△aob ．
（1）求直線ab的解析式；
（2）求點d的座標，猜想線段ce與線段ab的數量關係和位置關係，並說明理由；
（3）若f為射線cd上一點，且∠dbf＝45°，求點f的座標．
例8：如圖，直線y＝x＋2與y軸交於點c，與拋物線y＝ax 2交於a、b兩點（a在b的左側），bc＝2ac，點p是拋物線上一點．
（1）求拋物線的函式表示式；
（2）若點p在直線ab的下方，求點p到直線ab的距離的最大值；
（3）若點p在直線ab的上方，且∠bpc＝45°，求所有滿足條件的點p的座標．
練1：.如圖，拋物線的頂點為c（－1，－1），且經過點a、點b和座標原點o，點b的橫座標為－3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點d為拋物線上的一點，且△bod的面積等於△boc的面積，請直接寫出點d的座標；
（3）若點e的座標為（0，2），點p是線段bc上的乙個動點，是否存在點p，使得∠ope＝45°？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
課後作業：
如圖，點a(0,-1),b(3,0),p為直線y= -x+5上一點，若∠apb=45°，求點p的座標
在四邊形abcd中，∠abc=∠bad=90°，∠acd=45°，ab=3,ad=4,求ac的長.
如圖，正方形abcd中，點e,f,g分別在ab,bc,cd上，△efg為等邊三角形，求證：be+gc=bc
如圖，△abc△dba,且ac=bc,求證:cd=2ab.
如圖，在四邊形abcd中，∠abc＝90°，ab＝3，bc＝4，cd＝10，da＝，求bd的長
如圖，點a 是反比例（x＞0）圖形上一點，點b是x軸正半軸上一點，點c的座標為（0，2），點△abc是等邊三角形時，求點a的座標.
如圖，拋物線y＝ax 2＋bx＋4與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c，直線l：y＝－ x＋m經過點a，與拋物線交於另一點d（5，－），點p是直線l上方的拋物線上的動點，連線pc、pd．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△pcd為直角三角形時，求點p的座標；
（3）設△pcd的面積為s，請你**：使s的值為整數的點p共有幾個，說明理由．
1.如圖1,已知直線y=kx與拋物線交於點a（3，6）.
（1）求直線y=kx的解析式和線段oa的長度；
（2）點p為拋物線第一象限內的動點,過點p作直線pm, 交x軸於點m（點m、o不重合）,交直線oa於點q,再過點q作直線pm的垂線,交y軸於點n.試**：線段qm與線段qn的長度之比是否為定值？
如果是,求出這個定值,如果不是,說明理由；
（3）如圖2,若點b為拋物線上對稱軸右側的點,點e**段oa上（與點o、a不重
合）,點d（m，0）是x軸正半軸上的動點,且滿足∠bae=∠bed=∠aod.繼續探
究：m在什麼範圍時,符合條件的e點的個數分別是1個、2個？
如圖，直線ac：y＝－2x＋2與x軸交於點a，與y軸交於點c，拋物線y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）過a、c兩點，與x軸交於另一點b（b在a的右側），且△obc∽△oca．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點d為拋物線上一點，∠dca＝45°，求點d的座標；
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