專題一、二次函式與三角形
例1（08成都） 如圖，在平面直角座標系xoy中，△oab的頂點ａ的座標為（10，0），頂點b在第一象限內，且=3，sin∠oab=.
（1）若點c是點b關於x軸的對稱點，求經過o、c、a三點的拋物線的函式表示式；
（2）在(1)中，拋物線上是否存在一點p，使以p、o、c、a為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3）若將點o、點a分別變換為點q（ -2k ,0）、點r（5k，0）（k>1的常數），設過q、r兩點，且以qr的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為n，其頂點為m，記△qnm的面積為，△qnr的面積，求∶的值.
變式提公升
1、（07成都）．在平面直角座標系中，已知二次函式的圖象與軸交於兩點（點在點的左邊），與軸交於點，其頂點的橫座標為1，且過點和．
（1）求此二次函式的表示式；
（2）若直線與線段交於點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函式表示式及點的座標；若不存在，請說明理由；
（3）若點是位於該二次函式對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大小（不必證明），並寫出此時點的橫座標的取值範圍．
2、（09成都）．在平面直角座標系xoy中，已知拋物線y=與x軸交於a、b兩點(點a在點b的左側)，與y軸交於點c，其頂點為m,若直線mc的函式表示式為,與x軸的交點為n，且cos∠bco＝。
(1)求此拋物線的函式表示式；
(2)在此拋物線上是否存在異於點c的點p，使以n、p、c為頂點的三角形是以nc為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點p的座標：若不存在，請說明理由；
(3)過點a作x軸的垂線，交直線mc於點q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段nq總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?
專題二、二次函式與四邊形
例2、（2011成都）如圖，在平面直角座標系xoy中，△abc的a、b兩個頂點在x軸上，頂點c在y軸的負半軸上．已知|oa|：|ob|=1：5，|ob|=|oc|，△abc的面積s△abc=15，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過a、b、c三點．
（1）求此拋物線的函式表示式；
（2）設e是y軸右側拋物線上異於點b的乙個動點，過點e作x軸的平行線交拋物線於另一點f，過點f作fg垂直於x軸於點g，再過點e作eh垂直於x軸於點h，得到矩形efgh．則在點e的運動過程中，當矩形efgh為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異於b、c的點m，使△mbc中bc邊上的高為？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
變式提公升
（2011蕪湖）、平面直角座標系中，平行四邊形aboc如圖放置，點a、c的座標分別為(0，3)、(，0)，將此平行四邊形繞點0順時針旋轉90°，得到平行四邊形。
(1)若拋物線過點c，a，，求此拋物線的解析式；
(2)求平行四邊形aboc和平行四邊形重疊部分△的周長；
(3)點m是第一象限內拋物線上的一動點，間：點m在何處時△的面積最大?最大面積是多少?並求出此時點m的座標。
專題三、二次函式與圓
例3、（06成都）、如圖，在平面直角座標系中，已知點b，a，以ab為邊在x軸下方作正方形abcd，點e是線段od與正方形abcd的外接圓除點d以外的另乙個交點，鏈結be與ad相交於點f.
(1)求證：bf=do；
(2)設直線l是△bdo的邊bo的垂直平分線，且與be相交於點g，若g是△bdo的外心，試求經過b、f、o三點的拋物線的解析式；
(3)在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點p，使該點關於直線be的對稱點在x軸上？若存在，求出所有這樣的點的座標；若不存在，請說明理由.
（2011遵義）：已知拋物線經過, 兩點，且與軸交於點。
⑴求拋物線的函式關係式及點的座標；
⑵如圖6—1,連線，在題⑴中的拋物線上是否存在點，使△是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由；
⑶如圖6—2,連線，為線段上任意一點（不與、重合）經過、、三點的圓交直線於點，當△的面積取得最小值時，求點的座標。
解析：第⑴小題，利用待定繫法將、兩點的座標代入中得到乙個二元一次方程組，求出、的值，再求點的座標；
第⑵小題，如圖6—3，假設存在，分兩種情況：
①連線,,易得點與點重合，即點的座標為（0，3）；
②當時,過作∥,交拋物線於點，由(3,0), (0,3)，可得直線的函式關係式為，將直線從向平移（實際上是2個單位）與直線重合.則直線的函式關係式為
由,求得或，
因點的座標為（4，1），所以(4,1) 捨去，即的座標為 (-1,6)。
第⑶小題，如圖6—2，首先觀察並判斷△為等腰直角三角形，由點**段上,設，，
∴==∴當時, 取最小值,此時，∴。
賞析：題目以拋物線為載體，設定了由點的運動變化對三角形、圓的變化產生的影響的綜合背景，解決與拋物線有關的點的座標及三角形的面積最值問題。如在「該拋物線上是否存在點，使△是以為直角邊的直角三角形」和「為線段上任意一點（不與、重合）經過、、三點的圓交直線於點，……」。
這樣的變化使題目的各種關係變得複雜，學生要用動態的觀點來分析圖形中的相互關係。在知識點上主要考查了二元一次方程組、一元二次方程、一次函式、二次函式、直角三角形、三角形的面積、勾股定理、圓等初中數學的核心內容；在能力上考查學生在動態背景下處理幾何關係的認識能力與函式知識的應用能力；在思想方法上考查了待定係數法、配方法、方程思想、函式思想、數形結合思想及分類討論的思想等；試題的呈現自然、簡潔、和諧，提公升了學生對數學本質的思考。由試題的多種解法為學生提供解題過程的開放空間，體現了試題考查功能數學化。
變式提公升
如圖，在平面直角座標系內，rt△abc的直角頂點c（0，）在軸的正半軸上，a、b是軸上是兩點，且oa∶ob＝3∶1，以oa、ob為直徑的圓分別交ac於點e，交bc於點f.直線ef交oc於點q.
（1）求過a、b、c三點的拋物線的解析式；
（2）請猜想：直線ef與兩圓有怎樣的位置關係？並證明你的猜想.
（3）在△aoc中，設點m是ac邊上的乙個動點，過m作mn∥ab交oc於點n.試問：在軸上是否存在點p，使得△pmn是乙個以mn為一直角邊的等腰直角三角形？
若存在，求出p點座標；若不存在，請說明理由.
望子成龍學校家庭作業
（二次函式壓軸題）
學生姓名作業等級_________
（2010成都中考）在平面直角座標系中，拋物線與軸交於兩點（點在點的左側），與軸交於點，點的座標為，若將經過兩點的直線沿軸向下平移3個單位後恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線．
（1）求直線及拋物線的函式表示式；
（2）如果p是線段上一點，設、的面積分別為、，且，求點p的座標；
（3）設的半徑為l，圓心在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在與座標軸相切的情況？若存在，求出圓心的座標；若不存在，請說明理由．並**：若設⊙q的半徑為，圓心在拋物線上運動，則當取何值時，⊙q與兩坐軸同時相切？
二次函式壓軸題
東城25 如圖，在直角梯形abcd中，ad bc,dc bc,ab 10,ad 6,dc 8,bc 12,點e在下底邊bc上，點f在ab 上 若ef平分直角梯形abcd的周長，設be的長為，試用含的代數式表示 bef的面積 是否存 段ef將直角梯形abcd的周長和面積同時平分？若存在，求出此時be的...
二次函式壓軸題
1 如圖，已知拋物線經過點a 1，0 b 3，0 c 0，3 三點 1 求拋物線的解析式 2 點m是線段bc上的點 不與b，c重合 過m作mn y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長 3 在 2 的條件下，連線nb nc，是否存在m，使 bnc的面積最大？若存在，求m的值 ...
二次函式壓軸題2019 2
滿分12分 如圖，平面直角座標系中，點a b c在x軸上，點d e在y軸上，oa od 2，oc oe 4，db dc，直線ad與經過b e c三點的拋物線交於f g兩點，與其對稱軸交於m.點p為線段fg上乙個動點 與f g不重合 pq y軸與拋物線交於點q.1 求經過b e c三點的拋物線的解析式...