第一章勾股定理
３．螞蟻怎麼走最近
一、學生起點分析
本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、摺疊等活動.學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，並從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎.
二、教學任務分析
● 教材內容：
本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第３節．
● 教材地位及作用
具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助於發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些**活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助於發展學生合作交流的能力．
三、教學目標分析
1．教學目標
● 知識與技能目標
(1)學會觀察圖形，勇於探索圖形間的關係，培養學生的空間觀念．
● 過程與方法目標
(1)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力．
(2)在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想．
● 情感與態度目標
(1)通過有趣的問題提高學習數學的興趣．
(2)在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性．
2．教學重點
探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，並用它們解決生活實際問題．
3．教學難點
利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題．
四、教法學法
1．教學方法：
引導—**—歸納
本節課的教學物件是初二學生,他們的參與意識教強,思維活躍,為了實現本節課的教學目標,我力求以下三個方面對學生進行引導：
（1）從創設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程；
（2）從學生活動出發,順勢教學過程；
（3）利用探索研究手段,通過思維深入,領悟教學過程．
2．課前準備
教具：教材、電腦、多**課件．
學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具．
五、教學過程設計
本節課設計了七個環節．第一環節：情境引入；第二環節：合作**；第三環節：
做一做；第四環節：小試牛刀；第五環節：舉一反三；第六環節：
交流小結；第七環節：布置作業．
第一環節：情境引入
內容：情景１：多**展示：
提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？
情景２：
如圖：在乙個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在b處，恰好乙隻在a處的螞蟻捕捉到這一資訊，於是它想從a處爬向b處，你們想一想，螞蟻怎麼走最近？
意圖：通過情景１複習公理：兩點之間線段最短；情景２的創設引入新課，激發學生**熱情．
效果：從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生**熱情高漲，為下一環節奠定了良好基礎．
第二環節：合作**
內容：學生分為４人活動小組，合作**螞蟻爬行的最短路線，充分討論後，彙總各小組的方案，在全班範圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生發現：
沿圓柱體母線剪開後展開得到矩形，研究「螞蟻怎麼走最近」就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算．
意圖：通過學生的合作**，找到解決「螞蟻怎麼走最近」的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面最短距離問題並利用勾股定理求解．在活動中體驗數學建摸，培養學生與人合作交流的能力，增強學生**能力，操作能力，分析能力，發展空間觀念．
效果：學生彙總了四種方案：
學生很容易算出：情形（１）中a→b的路線長為：aa』+d，
情形（２）中a→b的路線長為：aa』+πd／2
所以情形（１）的路線比情形（２）要短．
學生在情形（３）和（４）的比較**現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線aa』剪開圓柱得到矩形，前三種情形a→b是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短．
如圖：（１）中a→b的路線長為：aa』+d;
（２）中a→b的路線長為：aa』+a』b>ab;
（３）中a→b的路線長為：ao+ob>ab;
（４）中a→b的路線長為：ab.
得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．
在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．
接下來後提問：怎樣計算ab？
在rt△aa′b中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則.
第三環節：做一做
內容：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的ad邊和bc邊是否分別垂直於底邊ab，但他隨身只帶了捲尺，
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
（2）李叔叔量得ad長是30厘公尺，ab長是40厘公尺，bd長是50厘公尺，ad邊垂直於ab邊嗎？為什麼？
（3）小明隨身只有乙個長度為20厘公尺的刻度尺，他能有辦法檢驗ad邊是否垂直於ab邊嗎？bc邊與ab邊呢？
解答：（2）
∴ad和ab垂直
意圖：運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．
效果：先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性．當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出ab，ad和bd的長度，或在ab，ad邊上各量一段較小長度，再去量以它們為邊的三角形的第三邊，從而得到結論．
第四環節：小試牛刀
內容：1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6km/h的速度向正東行走，1小時後乙出發，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：
00，甲、乙兩人相距多遠？
解答：如圖:已知a是甲、乙的出發點，10:00甲到達b點,
乙到達c點.則:
ab=2×6=12(千公尺)
ac=1×5=5(千公尺)
在rt△abc中
∴bc=13(千公尺)
即甲乙兩人相距13千公尺
2．如圖，台階a處的螞蟻要爬到b處搬運食物，它怎麼走
最近？並求出最近距離．
解答：3．有乙個高為1.5公尺，半徑是1公尺的圓柱形油桶，在靠近
邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為
0.5公尺，問這根鐵棒有多長？
解答：設伸入油桶中的長度為x公尺,
則最長時:
∴最長是2.5+0.5=3(公尺)
最短時:
∴最短是1.5+0.5=2(公尺)
答:這根鐵棒的長應在2-3公尺之間
意圖：對本節知識進行鞏固練習，訓練學生根據實際情形畫出示意圖並計算．
效果：學生能獨立地畫出示意圖，將現實情形轉化為數學模型，並求解．
第五環節：舉一反三
內容：1．如圖，在稜長為10厘公尺的正方體的乙個頂點a處有乙隻螞蟻，現要向頂點b處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1厘公尺/秒，且速度保持不變，問螞蟻能否在20秒內從a爬到b？
解答：2．在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有乙個水池，水面是乙個邊長為10尺的正方形，在水池的**有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？
解答：設水池的水深ac為x尺，則這根蘆葦長為
ad=ab=（x+1）尺，
在直角三角形abc中，bc=5尺
由勾股定理得:bc2+ac2=ab2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺。
意圖：第1題旨在對「螞蟻怎樣走最近」進行拓展，從圓柱側面到稜柱側面，都是將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想並利用勾股定理建立方程
效果：學生能畫出稜柱的側面展開圖，確定出ab位置，並正確計算．如有可能，還可把正方體換成長方體進行討論．
學生能畫出示意圖，找等量關係，設適當的未知數建立方程．
注意事項：對於普通班級而言，學生完成「小試牛刀」，已經基本完成課堂教學任務。因此本環節可以作為教學中的乙個備選環節，共老師們根據學生狀況選用。
第六環節：交流小結
內容：師生相互交流總結：
1．解決實際問題的方法是建立數學模型求解．
2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題．
意圖：鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收穫和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史．
效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收穫，總結出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解．並讚嘆我國古代數學的成就．
第七環節：布置作業
1．課本習題1．5第1，2，3題．
2．如圖是學校的旗桿,旗桿上的繩子垂到了地面,並多出了一段,現在老師想知道旗桿的高度,你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設計方案?（本題作為對部分學生的思考題）
六、教學設計反思
本節從生動有趣的問題情景出發，通過學生自主**，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數學建摸思想．在設計中,我注重以下兩點：
1．要充分利用好教材提供的素材
「螞蟻怎麼走最近」是乙個生動有趣的問題，讓學生充滿了**的慾望，這個問題體現了
二、三維圖形的轉化，對發展學生的空間觀念很有好處．
2．合理使用教材提供的練習
本節課通過「小試牛刀」和「舉一反三」把教材中的練習重組，使練習有梯度，既鞏固了基本知識點，又訓練了學生的應用能力．第乙個作業讓學生深入理解和應用勾股定理及逆定理．
3．突破重點、突破難點的策略
在教學過程中教師應通過情景創設，激發興趣，鼓勵引導學生經歷探索過程,得出結論,從而發展學生的數學應用能力，提高學生解決實際問題的能力．
4．分層教學
根據本班學生實際情況可在教學過程中選擇：基礎訓練——「小試牛刀」；提高訓練——「舉一反三」；拓展訓練——作業第2題．
5．評價方式
根據新課標的評價理念，在教學過程中應關注學生的參與程度，關注活動中所反映出的思維水平，關注對實際問題的理解水平，關注學生對基本知識的掌握情況和應用勾股定理及逆定理解決實際問題的意識和能力．在教學過程中尊重學生的個體差異，對於學生的回答教師應給予恰當的評價與鼓勵，並幫助學生樹立學習數學的自信，充分發揮教育的價值．
螞蟻怎樣走最近
一 知識要點 1 兩點之間的 直線段 最短，但螞蟻在圓柱體表面爬行時，所走路線必定為折線。2 立體圖形轉化為 平面圖形 再轉化為勾股定理問題。3 勾股定理是求兩點之間最短距離長度的主要方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作垂線段的方法構造rt 為勾股定理的應用創造必要條件。4 勾股定理及其定理的綜合...
螞蟻怎樣走最近練習卷
a.45m b.40m c.50m d.56m.11.如圖，陰影部分是乙個正方形，此正方形的面積為 12.一透明的圓柱狀玻璃杯，底面半徑為10cm,高為15cm,一根吸管斜放與杯中，吸管露出杯口外5cm,則吸管長為cm.13 如圖，等腰三角形abc的腰為10，底邊上的高為8，1 求底邊bc的長 2 ...
小螞蟻教學設計
小螞蟻 教學設計說課稿 青龍第一實驗小學高甜甜 一 教材分析 歌曲 小螞蟻 由螞蟻的習性入手，引申到生活中人人都應有禮貌 講文明，生動有趣，學生易於接受 歌曲為大調式，音域為乙個八度，旋律進行以同音反覆與級進音程為主，生動 活波。歌曲結構方整，由四個樂句構成。歌曲節奏以四分音符為主，第一樂句與第三樂...