三角函式式的化簡與求值
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三角函式式化簡與求值的理論依據—三角公式體系，主要由兩個系列組成：三角函式座標定義的推論系列；公式的推論系列
一、高考考點
以三角求值為重點，同時對三角式的化簡具有較高要求，主要考查：
1、同角三角函式基本關係式與誘導公式的應用.運用誘導公式的「準確」；運用同角公式的「靈活」：正用、反用、變用。
2、兩角和與差的三角函式與倍角公式的應用：正用、反用；有關公式的聯合運用，主要應用於無附加條件的三角式的化簡或求值（以選擇題、填空題為主）；帶有附加條件的三角式的求值問題（以解答題為主）；比較簡單的三角恒等式的證明（多為解答題，不同某一小題）。
3、等價轉化思想以及三角變換的基本技能。
二、知識要點
（一）三角函式座標定義的推論
1、三角函式值的符號 2、特殊角的三角函式值 3、同角三角函式的基本關係式（同角公式）
（1）課本中的公式：
（2）同角公式「全家福」
①平方關係： .
②商數關係： .
③倒數關係：
4、 誘導公式：
（1）認知與記憶：對使三角函式有定義的任意角
① k·360°＋ （k∈z），－ ，180°± ，360°－ （共性：偶數×90°± 形式）的三角函式值，等於的同名函式值，前面放上乙個把看作銳角時原函式值的符號；
② 90°± ，270°± （共性：奇數×90°± ）的三角函式值，等於的相應餘函式值，前面放上乙個把看作銳角時原函式值的符號。
①②兩類誘導公式的記憶：奇變偶不變，符號看象限。
（2）誘導公式的引申
； ； .
（二）兩角和與差的三角函式
1、兩角和的三角函式兩角差的三角函式
令 ＝2、倍角公式
；＝ ＝ ；
3、倍角公式的推論
推論1（降冪公式）：
推論2（萬能公式）：
； .
推論3（半形公式）：
其中根號的符號由所在的象限決定.
三、經典例題
例1、填空：
（1）已知的取值範圍為
（2）已知的取值範圍為
分析： （1）從已知條件分析與轉化入手
①又② ∴由①、②得 ， ∴應填
（2）首先致力於左右兩邊的靠攏：
左邊＝① 右邊＝ ②
∴由左邊＝右邊得
， ∴應填
點評：解本題，極易出現的錯解是由①、②得 ，這種由忽略分子而產生的錯誤很值得大家吸取經驗教訓.
例2.化簡或求值：
（1） （2）
分析：（1）注意到分母為單一的非特殊角的余弦，需設法在分子變換出cos20°.為此，將10°變為30°－20°後運用差角公式。
（2）對於含有清一色的兩切值的三角式，除用「切化弦」外 ，運用有關正切（或餘切）的公式，常常會收到良好的效果.
解：（1）原式＝
（2） 解法一（利用關於正切的倍角公式）：
注意到 ∴
∴原式＝ ＝＝ ＝ ＝cot20°
解法二（利用掌握的典型關係式）： 注意到 （證明從略）
∴原式＝ ＝
＝ ＝cot20°
點評：根據所用公式的特證，解法一從後向前變，解法二則從前向後推，這種靈活性值得借鑑.此外，在（1）中將10°變為特殊角30°與相關角20°的差，從角的這一關係式入手突破，是（1）求解成功的關鍵.
例3.（1）已知 ，求的值；
（2）已知
分析： 對於（1）注意到已知式的複雜性，考慮從化簡與認識「已知」切入，以明確未知目標的變形方向；
對於（2），注意到目標與已知的不甚親密，考慮從認知和變形目標切入， 以準確已知的延伸方向.
解： （1）由已知得
∴ 注意到
∴由已知得 （至此，目標的變形方向明確）
於是有原式＝ ＝
（2）由已知得原式＝ ＝ ＝ ①
（至此尋求的目標明確） 又∵
∴ ∴ ② 於是②代入①得，原式＝ .
點評：（1）從化簡認知「已知」切入，（2）從化簡認識「目標」切入，具體情況具體分析，很好地體現了解題的靈活性.
例4. （1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某乙個（或兩個）角的三角函式值，求另乙個相關角的三角函式值，基本的解題策略是從「角的關係式」入手切入或突破.上述角的關係主要有互餘（或互補）關係，和差（為特殊角）關係，倍半關係等.
對於比較複雜的問題，則需要兩種關係的混合運用.
解：（1）注意到這裡目標中的角與已知式中的角的關係式： （和差與倍半的綜合關係）
∴ ＝ ①
∵ ∴
∴ ②
③∴將②③代入①得
（2）注意到這裡有關各角的關係式： （和差與倍半的綜合關係）
∴ ＝①
又② ∴③
∴將②③代入①得
於是有 .
（3）注意到這裡有關各角之間的關係式
∴∴ ①
∵ ∴
又② ∴③
∴將②③代入①得 ， 故得
（4） 解法一（從尋找兩角與的聯絡切入）：
由已知得：①
此時注意到在內單調遞增. ∴由①②③得 ∴ 於是得 .
解法二（從已知式的化簡切入）
由已知得
④ ∵ ∴ ∴由④得⑤ 於是再由及⑤得 .
點評： 對於（1）（2），側重和差與倍半關係匯出有關角的等量關係；
對於（3），側重特殊角來建立有關各角的關係式；
對於（4），既展示了三角條件求值的一般途徑：已知三角函式值未知三角函式值；又展示了三角條件求值的特殊途徑：已知三角函式值有關角的量值未知三角函式值
例5、 (1)設
（2）設
分析：（1）注意到未知式的複雜，考慮從化簡和認知目標切入，以明確已知條件的延伸方向：
原式＝ ，故解題從求突破.
（2）在分析與變形目標中發現上，下面兩式的聯絡：
原式＝ ，故解題從求突破.
解： （1）原式由得
∴ ②
於是將②③④代入①得原式＝
（2）原式＝ ⑤ ∵ ∴
∴由得 ∴⑥
又注意到⑦ ∴將⑥⑦代入⑤得，原式＝
點評：（1）（2）兩題的條件與目標相似，此時解題可謂「仁者見仁，智者見智」，不同的關注點，引出不同的切入點和突破口.
例6（1）已知 ， 且
（2）已知
（3）已知
分析：不同的矛盾需用不同的方法來解決.
對於（1）著眼於目標 ，故從求切入；
對於（2）著眼於目標 ，故從求切入與突破；
對於（3），由已知匯出的函式值，方向不明，此時注意到 ，故轉而考慮從尋覓的方程與求解入手.
解： （1則①2＋②2得
∴③ 又
此時注意到①中 ， 故得 ④
於是由③④得因此有
點評1：本題容易引發的錯解為由③得 ，因而有 ，錯解的根源在於解題中僅利用已知資料的絕對值，而未能利用已知資料的符號.事實上，三角條件求值的特色之一，是在求解過程中常常將已知資料的絕對值（或本身）與已知資料的符號分開（或重複）使用.
本例的解答便是這一「分開使用」的示範.
（2） ① 由 ②
③ ∴②2＋③2得 ∴④
③2－②2得 ⑤
∴④代入⑤得 ⑥ 於是將④⑤代入①得，原式＝
（3）由① ∴
又由② ∴將①②聯立方程組，解得
∴點評2：求解（2）（3）的共同之處，是首先認知目標，而後有的放矢地去求索，認知目標以明確尋求的方向，此為條件求值的基本原則；不過，當目標有不同的「面孔」時，需仔細斟酌與選擇追求的物件. 四、高考真題
（一）選擇題
1、（江蘇卷）若
bc. d.
分析：由
∴ ∴應選a.
2、（浙江卷）已知k<－4，則函式y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（ ）
a. 1b. －1 c. 2k+1 d. –2k+1
分析：y＝2cos2x＋kcosx－k－1＝2（cosx＋ ）2－（ ） ∵k<－4， ∴－ >1
又－1≤cosx≤1 ∴當cosx＝1時，y取最小值1，故選a. 應選a.
（二）填空題
1、（全國卷 ii ）設
分析：注意到已知條件中的角與目標中的角之間的聯絡
由已知得
又為第四象限角 ∴由②得 ③ 於是由①③得，
（三）解答題
1、化簡 ，並求函式f（x）的值域和最小正週期.
分析：欲求f（x）的值域和最小正週期，第一選擇是將f（x）化為的形式.
解：＝ ＝
4cos2x
即f（x）＝4cos2x（x∈r） ∴f（x）的最小正週期t= ； 又－1≤cos2x≤1（x∈r）∴f（x）的值域[－4，4]。
點評：本題從考查三角函式的誘導公式、和（差）角公式、以及三角函式的週期和值域切入，重點考查f（x）向一般形式的化歸和轉化能力.
2、已知函式f（x）＝
（1）求的值； （2）設
分析：為便於計算或化簡，在可能的情況下，以首先將f（x）化為的形式為上策.
解：運用倍角公式得 ＝ ＝
（1） ＝ ＝ ＝0
（2） ∴
點評：若f（x）是形如的sinx，cosx的二次齊次式，則一般要將f（x）化為的形式後求解.
3、已知
（1）求的值； （2）求的值.
分析：已知的值，要求sinx，cosx或可用sinx，cosx錶出的三角式的值，典型解法之一是「配對」解法，即先求的值，而後將上述兩式聯合，解出sinx，cosx的值再作道理.而本題恰是為了解（2）作了鋪墊.
解： （1）對於① 由①式兩邊平方得
cosx＞0，sinx＜0 ∴sinx－cosx<0
∴由②得sinx－cosx＝－ ③
（2）將①③聯立，解得 ∴原式＝
點評：注意到由①2得 ，故這裡只利用了已知數值的絕對值，對於比較複雜的問題，還要注意利用這裡的或的符號，據此來進行篩選或認定相關三角式的取值.對此，請大家參見本專題經典例題，以強化這一方面的認知.
4、條件求值系列：
（1）已知
（2）已知
（3）已知 ，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.
分析： 注意到（1）中已知等式複雜，故從化簡和認知「已知」切入；
而（2）中「已知」與目標疏遠，故首先從已知中角的關係入手主動靠攏目標，而後視具體情況再決定下一步的動作；
至於（3），易見應從化簡和認知目標切入，利用（ⅰ）的結果更為簡便.
解：（1）由已知得
∴① 由已知得 ， ，∴ ， 即 ∴tan ，∴由①得
∴ ＝
＝ ＝
（2）注意到互為餘角，由已知得
∴由②得於是有原式＝ ＝
(3) (ⅰ)由已知得 ，由此解得
(ⅱ)利用(ⅰ)的結果，原式＝
對於（2），從互為餘角切入，乃是簡化解題過程的關鍵環節.此外，因勢利導求出角 ，雖屬特例，但也展示了三角解題的靈活性.
高中數學必修4三角函式化簡與證明
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