不等式證明
例1：設，求證：
分析：發現作差後變形、判斷符號較為困難。考慮到兩邊都是正數，可以作商，判斷比值與1的大小關係，從而證明不等式。
證明：，∵，∴∴
∴又∵，∴。
說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。
例2：對於任意實數、，求證（當且僅當時取等號）。
分析：這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開後很複雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發，再恰當地利用不等式的有關性質及「配方」的技巧可得到證明。
證明：∵ （當且僅當時取等號）
兩邊同加，即：（1）
又：∵（當且僅當時取等號），
兩邊同加
∴，∴（2）
由（1）和（2）可得（當且僅當時取等號）。
說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子**現有平方和乘積形式後可以考慮用綜合法來解。
例3：若，證明，（且）。
分析1：用作差法來證明。需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明。
解法1：當時，因為，
所以。當時，因為，
所以。綜上，。
分析2：直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號。
解法2：作差比較法。因為
，所以。
說明：解法1用分類相當於增設了已知條件，便於在變形中脫去絕對值符號；解法2用對數性質（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快。
補充：（比較法）已知，求證：。
解法1：。
因為，所以，，所以，
所以，，命題得證。
解法2：因為，所以，，
所以，，
由解法1可知：上式。故命題得證。
例4：已知、、，，求證
分析顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較複雜而不易得到證明。由於右邊是乙個常數，故可考慮把左邊的式子變為具有「倒數」特徵的形式，比如，再利用「均值定理」就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為「湊倒數」的技巧。
證明：∵∴
∵，同理：，。
∴ 說明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式。題目中用到了「湊倒數」，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數式進行適當變形，以期達到可以「湊倒數」的目的。
例5：已知，求證：0。
分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由於分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。
（分析法書寫過程）證明1：為了證明0
只需要證明
∵∴∴0
∴成立∴0成立
（綜合法書寫過程）證明2：∵∴
∴，0，∴成立，∴0成立
說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經常混在一起應用，混合應用時，應用語言敘述清楚。
例6：已知，求證：。
分析：欲證不等式看起來較為「複雜」，宜將它化為較「簡單」的形式，因而用分析法證明較好。
證明：欲證，只須證。
即要證，即要證。
即要證，即要證。
即要證，即，即要證（*）
∵，∴（*）顯然成立，故
說明：分析法證明不等式，實質上是尋求結論成立的乙個充分條件。分析法通常採用「欲證—只要證—即證—已知」的格式。
例7：設是正整數，求證。
分析：要求乙個項分式的範圍，它的和又求不出來，可以採用「化整為零」的方法，觀察每一項的範圍，再求整體的範圍。
證明：由，得。
當時，；當時，......
當時，，∴。
說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應，否則會走入困境。例如證明。由，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第2項放縮，可得小於2。當放縮方式不同，結果也在變化。
說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少於部分；每一次縮小其和變小，但需大於所求，第一次擴大其和變大，但需小於所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮後便於求和。
例8：求證。
證明：∵，
∴。說明：此題證明過程並不複雜，但思路難尋。
本題所採用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這裡變形的這一步極為關鍵。
例9：證明不等式：，。
講解：此題為與自然數有關的命題，故可考慮用數學歸納法證明。
解法1：①當時命題成立。
②假設時命題成立，即：。
則當時，不等式的左端
不等式的右端。
由於 。
所以，，即時命題也成立。
由①②可知：原不等式得證。
從上述證法可以看出：其中用到了這一事實，從而達到了和之間的轉化，也即和之間的轉化，這就提示我們，本題是否可以直接利用這一關係進行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡是不可能的，但如果利用進行放縮，則可以達到目的，由此得解2。
解法2：因為對於任意自然數，都有，所以，，從而不等式得證。
高考數學一輪複習第
高考數學一輪複習第13講 平面向量的簡單應用 一 複習目標 熟練掌握平面向量的基礎知識，靈活運用平面向量知識解決與平面幾何 解析幾何及三角 數列有關的數學問題。二 課前熱身 1 已知向量和關於軸對稱.則滿足不等式的點的集合用陰影表示為 2 設是非零向量.則的乙個必要而不充分條件是 存在.使 3 設為...
2019屆高考數學第一輪複習測試題
高考一輪複習訓練 向量 1.的夾角為，則 2.已知向量和向量的夾角為，2，則 3.已知，當平行時，k的值為 4.已知向量，則 5.設 是單位向量，且 0，則 的最小值為 6.設非零向量 滿足則 7.已知 1,6,2，則向量與向量的夾角是 8.平面向量與的夾角為，則 9.已知向量,若向量滿足，則 10...
2019屆高考生物第一輪複習檢測試題
b 在富營養化水體中，魚鱗藻的適應性最弱 c 在中營養化水體中，有利於能量流向對人類最有益的部分 d 用脆杆藻能夠控制富營養化水體中微囊藻的數量，淨化水體 解析 可用取樣調查的方法測定藻類的種群密度 隨著水體的富營養化，魚鱗藻的數量最早開始減少，說明其適應性最弱 在中營養化水體中，脆杆藻數量最多，有...