考點31 直接證明與間接證明
1.（2013·北京高考理科·ｔ20）已知是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為an，第n項之後各項，…的最小值記為bn，dn=an－bn．
(1)若為2，1，4，3，2，1，4，3…，是乙個週期為4的數列(即對任意n∈n*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(2)設d為非負整數，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為為公差為d的等差數列；
(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則的項只能是1或2，且有無窮多項為1
【解題指南】(1)根據的定義求.
(2)充分性:先證明是不減數列,再利用定義求dn;
必要性:先證明是不減數列,再利用定義證明等差.
(3)可通過取特殊值和反證法進行證明.
【解析】（1），，
，。（2） 充分性：
若為公差為的等差數列，則.
因為是非負整數，所以是常數列或遞增數列.
，，(n=1,2,3,…).
必要性：
若，假設是第乙個使得的項，則
，，，這與矛盾.
所以是不減數列.
，即，是公差為的等差數列.
（3）①首先中的項不能是0，否則，與已知矛盾.
②中的項不能超過2，用反證法證明如下：
若中有超過2的項，設是第乙個大於2的項，
中一定存在項為1，否則與矛盾.
當時，，否則與矛盾.
因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，
此時，矛盾.
綜上中沒有超過2的項.
綜合①②，中的項只能是1或2.
下面證明1有無數個，用反證法證明如下：[**
若為最後乙個1，則，矛盾.
因此1有無數個.
2.（2013·北京高考文科·ｔ20）給定數列a1，a2，…，an。對i=1，2，…n-l，該數列前i項的最大值記為ai，後n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為bi，di=ai-bi.
（1）設數列為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.
（2）設a1，a2，…，an（n≥4）是公比大於1的等比數列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數列。
（3）設d1，d2，…dn-1是公差大於0的等差數列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數列。
【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.
(2)先求出的通項,再利用等比數列的定義證明是等比數列.
(3)先證明是單調遞增數列,再證明an是數列的最小項,最後證明是等差數列.
【解析】（1），，。
（2）由是公比大於1的等比數列，且a1＞0，可得的通項為且為單調遞增數列。
於是當時，為定值。
因此d1，d2，…dn-1構成首項，公比的等比數列。
（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大於0的等差數列,則0先證明a1,a2,…,an-1是單調遞增數列,否則,設ak是第乙個使得ak≤ak-1成立的項,則
ak-1=ak,bk-1≤bk,因此dk-1=ak-1-bk-1≥ak-bk=dk,矛盾.
因此a1,a2,…,an-1是單調遞增數列.
再證明an為數列中的最小項,否則設ak顯然k≠1,否則d1=a1-b1=a1-b1≤a1-a1=0,與di>0矛盾.[**:學§科§網]
因而k≥2,此時考慮dk-1=ak-1-bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.[**:學_科_網]
因此,an為數列中的最小項.
綜上,dk=ak-bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),於是ak=dk+an,
從而a1,a2,…,an-1是等差數列.
關閉word文件返回原板塊。
2019屆高考地理第一輪考點複習
方向判斷 利用經緯網及地理事物判斷方向 基本原理 1 地圖上的方向規律 一般地圖的方向規律 上北下南，左西右東。有指向標的地圖的方向規律 眼睛方向與指向標方向一致，然後按上北下南，左西右東判定。如圖1 經緯網地圖的方向規律 經線表示正北和正南方向，過經線上的任何一點作切線，指向北極的為正北，指向南極...
2019屆高考地理第一輪考點複習
地球與地圖 母圖導航 雙基要點 地球上的經緯網 1 經線與緯線 經度與緯度 誤點警醒 1 雖然理論上同一條緯線上各地的線速度相同，但由於各地地勢高低差異而導致地球上各地的線速度並不相同。2 經線與緯線實際上並不存在，是人為規定的。而且東經度不一定在東半球，西經度不一定在西半球。3 某一條緯線上經度差...
2019屆高考語文第一輪考點專項複習教案
專題十第一講 1.目前,傳送手機簡訊已成為人們喜愛的一種交流方式。手機簡訊的特點是簡明 清晰 方便,好的手機簡訊還要富有文采。請以 風 帆 船 三物為喻體,給你的朋友發一條祝賀生日的手機簡訊。60字以內 解析 本題考查擴充套件語句的能力。解答此題,首先,要分析所給三個概念間的關係,風 帆 船 是互相...