考點29 基本不等式
一、選擇題
1.（2013·重慶高考理科·ｔ3）的最大值為 ( )
abcd.
【解題指南】直接利用基本不等式求解.
【解析】選b. 當或時,，當時, ,當且僅當即時取等號.
2. （2013·山東高考理科·ｔ12）設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當取得最大值時，的最大值為
a.0 b.1 c. d.3
【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z，再經過變形，轉化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入，進而再利用基本不等式求出的最值.
【解析】選b. 由，得.
所以，當且僅當，即時取等號此時，. .
3. （2013·山東高考文科·ｔ12）設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（ ）
a.0 b. c.2 d.
【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z，再經過變形，轉化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入，進而再利用基本不等式求出的最值.
【解析】 選c. 由，得.
所以，當且僅當，
即時取等號此時，
所以，當且僅當y=2-y時取等號.
4.(2013·福建高考文科·t7)若2x+2y=1,則x+y的取值範圍是 ( )
abcd．
【解題指南】「一正二定三相等」,當題目出現正數,出現兩變數,一般而言,這種題就是在考查基本不等式.
【解析】選d.≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.
二、填空題
5. （2013·四川高考文科·ｔ13）已知函式在時取得最小值，則
【解題指南】本題考查的是基本不等式的等號成立的條件，在求解時需要找到等號成立的條件，將代入即可.
【解析】由題，根據基本不等式，當且僅當時取等號，而由題知當時取得最小值，即.
【答案】36
6.（2013·天津高考文科·ｔ14）設a + b = 2, b>0, 則的最小值為 .
【解題指南】將中的1由a + b代換，再由均值不等式求解.
【解析】因為a + b = 2, b>0，所以
，當且僅當時等號成立，此時，或，
若，則，若，則所以的最小值為
【答案】
7. （2013·天津高考理科·ｔ14）設a + b = 2, b>0, 則當a = 時,取得最小值.
【解題指南】將中的1由a + b代換，再由均值不等式求解.
【解析】因為a + b = 2, b>0，所以
，當且僅當時等號成立，此時，或，
若，則，若，則所以取最小值時，.
【答案】-2
8.（2013·上海高考文科·t13）設常數a＞0.若對一切正實數x成立，則a的取值範圍為 .
【解析】 考查均值不等式的應用，
【答案】
9. （2013·陝西高考文科·ｔ14）在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建乙個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為 (m).
【解題指南】設出矩形的高y，由題目已知列出x，y的關係式，整理後利用均值不等式解決應用問題.
【解析】設矩形高為y, 由三角形相似得:
.【答案】20.
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