2023年高考理科數學考點分類自測：拋物線
一、選擇題
1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等於
a．1b．4
c．8d．16
2．拋物線y＝－4x2上的一點m到焦點的距離為1，則點m的縱座標是
ab．－
cd.3．已知f是拋物線y2＝x的焦點，a，b是該拋物線上的兩點，|af|＋|bf|＝3，則線段ab的中點到y軸的距離為
ab．1
cd.4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關係是( )
a．相離b．相交c．相切d．不確定
5．已知f為拋物線y2＝8x的焦點，過f且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，則||fa|－|fb||的值等於
a．4b．8
c．8d．16
6．在y＝2x2上有一點p，它到a(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點p的座標是
a．(－2,1b．(1,2)
c．(2,1d．(－1,2)
二、填空題7．以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．
8．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________．
9．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交於a、b兩點，拋物線的焦點為f，那麼
三、解答題
10．根據下列條件求拋物線的標準方程：
(1)拋物線的焦點是雙曲線 16x2－9y2＝144的左頂點；
(2)過點p(2，－4)．
11．已知點a(－1,0)，b(1，－1)，拋物線c：y2＝4x，o為座標原點，過點a的動直線l交拋物線c於m，p兩點，直線mb交拋物線c於另一點q.若向量與的夾角為，求△pom的面積．
12．在平面直角座標系xoy中，已知點a(0，－1)，b點在直線y＝－3上，m點滿足∥，·＝·，m點的軌跡為曲線c.
(1)求c的方程；
(2)p為c上的動點，l為c在p點處的切線，求o點到l距離的最小值．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：根據拋物線方程可得其焦點座標為(0，)，雙曲線的上焦點為(0,2)，依題意則有
＝2, 解得a＝8.
答案：c
2．解析：拋物線方程可化為x2＝－，其準線方程為y＝.設m(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知－y0＝1y0＝－.
答案：b
3．解析：根據拋物線定義與梯形中位線定理，得線段ab中點到y軸的距離為： (|af|＋|bf|)－＝－＝.
答案：c
4．解析：設拋物線焦點弦為ab，中點為m，準線l，a1、b1分別為a、b在直線l上的射影，則|aa1|＝|af|，|bb1|＝|bf|，於是m到l的距離d＝(|aa1|＋|bb1|)＝(|af|＋|bf|)＝|ab|＝半徑，故相切．
答案：c
5．解析：依題意f(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則||fa|－|fb||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.
答案：c
6．解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準線，f為其焦點，pn⊥l，an1⊥l，由拋物線的定義知，|pf|＝|pn|，∴|ap|＋|pf|＝|ap|＋|pn|≥|an1|，當且僅當a、p、n三點共線時取等號．∴p點的橫座標與a點的橫座標相同即為1，則可排除a、c、d.
答案：b
二、填空題7．解析：拋物線的焦點為f(0,4)，準線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64.
答案：x2＋(y－4)2＝64
8．解析：設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，
則準線為y＝－.
∵q(－3，m)在拋物線上，
∴9＝am.
而點q到焦點的距離等於點q到準線的距離，
∴|m－(－)|＝5.將m＝代入，
得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，
∴所求拋物線的方程為x2＝±2y，或x2＝±18y.
答案：x2＝±2y或x2＝±18y
9．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根為a、b兩點的橫座標，故x1＋x2＝5，因為拋物線y2＝4x的焦點為f(1,0)，所以x1＋1)＋(x2＋1)＝7
答案：7
三、解答題
10．解：雙曲線方程化為－＝1，
左頂點為 (－3,0)，
由題意設拋物線方程為
y2＝－2px(p>0)，則－＝－3，
∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.
(2)由於p(2，－4)在第四象限且拋物線對稱軸為座標軸，可設拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入p點座標求得m＝8，n＝－1，
∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.
11．解：設點m(，y1)，p(，y2)，
∵p，m，a三點共線，
∴kam＝kpm，
即＝，即＝，
∴y1y2＝4.
∴·＝·＋y1y2＝5.
∵向量與的夾角為，
∴| |·| |·cos＝5.
∴s△pomsin＝.
12．解：(1)設m(x，y)由已知得b(x，－3)，a(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由題意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲線c的方程為y＝x2－2.
(2)設p(x0，y0)為曲線c：y＝x2－2上一點，
因為y′＝x，所以l的斜率為x0.
因此曲線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
則o點到l的距離d＝.又y0＝x－2，
所以d＝＝(＋)≥2，
當x0＝0時取等號，所以o點到l距離的最小值為2.
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