考點49 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型
一、選擇題
1. （2013·四川高考理科·ｔ9）節日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電後的4秒內任一時刻等可能發生,然後每串彩燈在4秒內為間隔閃亮,那麼這兩串彩燈同時通電後,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是 ( )
abcd.
【解題指南】本題考查的是幾何概型問題,首先明確兩串彩燈開始亮是通電後4秒內任一時刻等可能發生,第一次閃亮相互獨立,而滿足要求的是兩串彩燈第一次閃亮的時刻相差不超過2秒.
【解析】選c.由於兩串彩燈第一次閃亮相互獨立且在通電後4秒內任一時刻等可能發生,所以總的基本事件為如圖所示的正方形的面積,而要求的是第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的基本事件為如圖所示的陰影部分的面積,
根據幾何概型的計算公式可知它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是，故選c.
2.（2013·安徽高考文科·ｔ5）若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 （ ）
a. b. c. d.
【解題指南】 以甲、乙為選擇物件分情況考慮，先組合再求概率。
【解析】選d.當甲、乙兩人中僅有一人被錄用時的概率；當甲、乙兩人都被錄用時的概率，所以所求概率為。
3.（2013·新課標ⅰ高考文科·ｔ3）從1，2，3，4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是
a. bcd.
【解析】選b.從1，2，3，4中任取2個不同的數有種，取出的2個數之差的絕對值為2有2種，則概率.
4. （2013·陝西高考理科·ｔ5）如圖, 在矩形區域abcd的a, c兩點處各有乙個通訊基站, 假設其訊號覆蓋範圍分別是扇形區域ade和扇形區域cbf(該矩形區域內無其他訊號**, 基站工作正常). 若在該矩形區域內隨機地選一地點, 則該地點無訊號的概率是 ( )
a． b.
c． d.
【解題指南】幾何概型面積型的概率為隨機事件所占有的面積和基本事件所占有的面積的比值求出該幾何概型的概率.
【解析】選a.由題設可知，矩形abcd的面積為2，曲邊形debf的面積為，故所求概率為
5.（2013·江西高考文科·ｔ4）集合a=,b=,從a,b中各取任意乙個數，則這兩數之和等於4的概率是（ ）
ab. cd.
【解題指南】屬於古典概型，列舉出所有的結果是關鍵.
【解析】選c.所有的結果為（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6種，滿足所求事件的有2種，所以所求概率為.
6. （2013·湖南高考文科·ｔ9）.已知事件「在矩形abcd的邊cd上隨機取一點p，使△apb的最大邊是ab」發生的概率為，則=（ ）
abcd.
【解題指南】本題的關鍵是找出使△apb的最大邊是ab的臨界條件，首先是確定ad【解析】選d，如圖，
在矩形abcd中，以ab為半徑作圓交cd分別於e,f,當點p**段ef上運動時滿足題設要求，所以e、f為cd的四等分點，設，則在直角三角形adf中，，所以.
二、填空題
7.(2013·浙江高考文科·t12)從3男3女6名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均相等),則2名都是女同學的概率等於 .
【解題指南】根據概率的知識求解.
【解析】.
【答案】.
8.（2013·上海高考理科·t8）盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是結果用最簡分數表示）
【解析】9個數5個奇數，4個偶數，根據題意所求概率為．
【答案】.
9.（2013·上海高考文科·t11）盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是
（結果用最簡分數表示）.
【解析】考查排列組合；概率計算策略：正難則反。
【答案】.
10. (2013·江蘇高考數學科·t7)現在某類病毒記作,其中正整數m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數的概率為 .
【解題指南】先計算所有的結果數再計算事件所含結果數,利用古典概型概率公式求得.
【解析】所有的情況數為7×9=63,都取到奇數的情況數為4×5=20,所以m,n都取到奇數的概率為.
【答案】.
11.（2013·福建高考理科·ｔ11）利用計算機產生～之間的均勻隨機數，則事件「3a-1>0」的概率為_______
【解題指南】對於幾何概型，乙個變數是長度，兩個變數是面積。
【解析】設事件a：「」，則，所以
【答案】.
12.（2013·福建高考文科·ｔ14）利用計算機產生「3a-1<0」發生的概率為
【解題指南】對於幾何概型，乙個變數是長度，兩個變數是面積。
【解析】設事件a：「」，則，所以
【答案】.
13. （2013·湖北高考文科·ｔ15）在區間上隨機地取乙個數x，若x滿足的概率為，則
【解題指南】解絕對值不等式,根據幾何概型利用區間長度之比求解.
【解析】由||≤m，得-m≤≤m，當m≤2時,由題意，m=2.5矛盾,捨去;當2【答案】3.
14. （2013·山東高考理科·ｔ14）在區間[-3,3]上隨機取乙個數x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率為
【解題指南】 可先定義新函式，然後根據分段函式的特點將問題轉化為幾何概型問題.
【解析】設，則.由，解得，即當時，.由幾何概型公式得所求概率為.
【答案】.
15.(2013·新課標全國ⅱ高考理科·t14)從n個正整數1,2,…,n中任意取出兩個不同的數,若取出的兩數之和等於5的概率為,則n= .
【解題指南】表示出兩數之和等於5的概率,並建立方程,利用組合數的計算公式,解方程求得n.
【解析】從n個正整數1,2,…,n中任意取出兩個不同的數,所有的取法有種,而取出的兩數之和等於5的取法只有兩種,即(1,4),(2,3),所以其概率為,即n2-n-56=0,所以n=8.
【答案】8.
16. （2013·新課標全國ⅱ高考文科·ｔ13）從中任意取出兩個不同的數，其和為的概率是_______.
【解題指南】列舉基本事件總數，從中找出和為5的情況，兩者作比即可得概率.
【解析】從5個正整數中任意取出兩個不同的數，有種，若取出的兩數之和等於5，則有，共有2個，所以取出的兩數之和等於5的概率為。
【答案】.
三、解答題
17. （2013·遼寧高考文科·ｔ19）
現有6道題，其中其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答.
試求：所取的2道題都是甲類題的概率；
所取的2道題不是同一類題的概率；
【解題指南】利用列舉法，弄清楚基本事件總數和所求的事件a包含的基本事件數，利用古典概型的公式計算概率
【解析】將4道甲類題依次編號為1,2,3,4，2道乙類題依次編號為5,6．任取2道題的基本事件為
共有15個；並且這些基本事件的出現是等可能的，記事件「張同學所取的２道題都是甲類題」；則ａ包含的基本事件有共６個，所以
基本事件同．記事件「張同學所取的２道題不是同一類題」，
則ｂ包含的基本事件有共８個，
所以18.(2013·天津高考文科·t15)某產品的三個質量指標分別為x,y,z,用綜合指標s=x+y+z評價該產品的等級.若s≤4,則該產品為一等品.
現從一批該產品中,隨機抽取10件產品作為樣本,其質量指標列表如下:
(1)利用上表提供的樣本資料估計該批產品的一等品率.
(2)在該樣品的一等品中,隨機抽取2件產品,
①用產品編號列出所有可能的結果;
②設事件b為「在取出的2件產品中,每件產品的綜合指標s都等於4」,求事件b發生的概率.
【解題指南】(1)先計算**中各樣本的綜合指標,再計算其中一等品所佔比例來估計該批產品的一等品率.
(2)逐一列舉,找出符合條件的結果,利用古典概型計算概率.
【解析】(1)計算10件產品的綜合指標s,如下表
其中s≤4的有a1,a2,a4,a5,a7,a9,共6件,故該樣本的一等品率為=0.6,從而可估計該批產品的一等品率為0.6.
(2)①在該樣本的一等品中,隨機抽取2件產品的所有可能結果為(a1,a2),(a1,a4),(a1,a5),(a1,a7),(a1,a9),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a7),(a2,a9),(a4,a5),(a4,a7),(a4,a9),(a5,a7),(a5,a9),(a7,a9),共15種.
②在該樣本的一等品中,綜合指標s等於4的產品編號分別為a1,a2,a5,a7,則事件b發生的所有可能結果為
(a1,a2),(a1,a5),(a1,a7),(a2,a5),(a2,a7),(a5,a7),共6種.
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