【知識點總結】
一、比例線段
1、比例的基本性質比例的性質反映的是比例式與等積式的相互轉換。
2、比例線段：四條線段 ，那麼a、b、c、d叫做比例線段。注意比例線段的順序性。
3、比例中項：三個數a、b、c滿足比例式，則b叫做a、c的比例中項。同號兩數的比例中項有兩個，它們互為相反數；異號兩數無比例中項；兩條線段的比例中項只有乙個。
4、**分割：點p把線段ab分成ap和pb，使得那麼稱線段ab被點p**分割，
點p叫做線段ab的**分割點，線段ap與ab的比叫做**比，其中0.618。
判斷乙個點是否為**分割點，有兩種方法：一是通過判斷已知線段被這點分成的兩條線段，是否滿足為**比，二是根據定義判斷三條線段是否滿足定義中的比例關係。
二、相似三角形
1、概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形，對應邊的比叫做相似比。
注意①相似比的順序性；②記三角形相似時注意對應頂點寫在對應位置上；③全等三角形是特殊的相似三角形。
2、用定義法證明三角形相似：用定義法證明三角形相似時，一定要說明三個角對應相等，三邊對應成比例，缺一不可。
3、相似三角形中對應邊與對應角的找法，一般有如下規律：
①當圖形中有直線平行時，同位角或內錯角為對應角；
②當兩個三角形有公共角時，公共角為對應角；
③對應角所對的邊是對應邊，對應邊所對的角是對應角，對應邊所夾的角是對應角；
④最大的邊對最大的角，最大的角對最大的邊，反之亦然。
三、相似三角形的判定
1、判定定理：①平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；②兩角對應相等，兩個三角形相似；③兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；
④三邊對應成比例，兩三角形相似。
2、推論：①兩個直角三角形中斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角形相似；
②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
四、相似三角形的性質
1、性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；②相似三角形周長的比等於相似比；
③相似三角形面積的比等於相似比的平方
2、推論：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。
五、相似多邊形
1、概念：各對應角相等、各對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，對應邊之比叫做相似比。
2、性質：①相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例；②相似多邊形的周長比等於相似比；③面積比等於相似比的平方。
3、性質的推論：①相似多邊形對應的對角線之比等於相似比；②相似多邊形中，對應的三角形相似，其相似比等於原多邊形的相似比。
【典型例題解析】
一、比例線段
1、解比例
【例1】（1)已知x：(x+1)=(1—x)：3，求x； （2)若，求；
（3)2、比例線段
【例2】（1）若a、b、c、d成比例,且a=2, b=3, c=4,那麼d=
（2）下列各組線段的長度成比例的是（ ）
a.2，3, 4, 1 b.1.
5, 2.5, 6.5, 4.
5 c.1.1, 2.
2, 3.3, 4.4 d.
1, 2, 2, 4
二、相似三角形的判定
【例3】如圖，cd是rt△abc斜邊ab上的中線，過點d垂直於ab的直線交bc於e，交ac延長線於f．
求證：(1)△adf∽△edb；(2)cd2=de·df．
【例4】已知：如圖e、f分別是正方形abcd的邊ab和ad上的點，
且。求證：∠aef=∠fbd
【練習1】如圖所示五個正方形網格中的三角形如圖所示，下面的四個三角形中，與如圖中的三角形相似的是（ ）
三、相似三角形的性質
【例5】如圖，已知∽，求證：∽．
【例6】已知：如圖， abcd中，，求與的周長的比，如果，求．
【練習2】如圖，在⊙o上位於直徑ab的異側有定點c和動點p，ac=ab，點p在半圓弧ab上運動（不與a、b兩點重合），過點c作直線pb的垂線cd交pb於d點．
（1）如圖1，求證：△pcd∽△abc；
（2）當點p運動到什麼位置時，△pcd≌△abc？請在圖2中畫出△pcd並說明理由；
（3）如圖3，當點p運動到cp⊥ab時，求∠bcd的度數．
【練習3】如圖，已知p為δabc的bc邊上的一點，pq∥ac交ab於q ，pr∥ab
交ac於r，求證：δaqr面積為δbpq面積和δcpr面積的比例中項。
四、相似三角形性質的實際應用
【例8】如圖，為了求出海島上的山峰ab的高度，在d和f處樹立標桿dc和fe，標桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等於5尺），並且ab、cd和ef在同一平面內，從標桿dc退後123步的g處，可看到山峰a和標桿頂端c在一直線上，從標桿fe退後127步的h處，可看到山峰a和標桿頂端e在一直線上．求山峰的高度ab及它與標桿cd的水平距離bd
【練習4】（2009陝西）如示意圖，小明想利用太陽光測量樓高．於是小明邊移動邊觀察，發現站到點e處時，可以使自己落在牆上的影子與這棟樓落在牆上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得小明落在牆上的影子高度cd=1.2m，ce=0.8m，ca=30m（點a、e、c在同一直線上）．已知小明的身高ef是1.
6m，請你幫小明求出樓高ab．（結果精確到0.1m）
五、相似三角形的綜合應用
【例9】(2010荊州)如圖，直角梯形oabc的直角頂點o是座標原點，邊oa、oc分別在x軸、y軸正半軸上，oa∥bc，d是bc上一點，bd=oa=，ab=3，∠oab=45°，e、f分別是線段oa、ab上的兩動點，且始終保持∠def=45°。
（1）、求d點的座標；
（2）、設oe=x，af=y，試確定y與x之間的函式關係；
【練習5】（2012資陽）如圖，o為矩形abcd中點，m、n分別為邊bc、cd上的點，on⊥om，若ab=6，ad=4，設om=x，on=y，則y與x的函式關係式為
六、相似多邊形
【例10】如圖，梯形abcd中，ad∥bc，e是ab上的一點，ef∥bc，並且ef將梯形abcd分成的兩個梯形aefd、ebcf相似，若ad=4，bc=9，求ae∶eb。
第四章三角形培優試題
2017 2018學年山東省滕州市鮑溝中學七年級尖子生培養 一 選擇題 1 如圖，下列條件中，不能證明 的條件是 a b c d 2 如圖所示中的4 4的正方形網格中，1 2 3 4 5 6 7 a 245 b 300 c 315 d 330 3 在 abc中，c 90 d為ab的中點，ed ab,...
初中數學總複習 第四章三角形
第四章三角形 第一節 線段 角 相交線 平行線 一 直線與線段 1 兩個基本事實 直線公理 線段公理 2 線段的和與差 如圖1，段ac上取一點b,則有abac。3 線段的中點 如圖2，點m是線段ab的中點，即有am mb 4 兩點的距離 連線兩點之間的線段長度 二 角及角平分線 1 度分秒的換算 1...
相似三角形專題複習四
相似三角形練習題 1 已知線段3，4，6與是成比例線段，則。2 已知a b兩地的實際距離為200千公尺，地圖上的比例尺為1 1000 000，則a b兩地在地圖上的距離是 3.如果兩個相似三角形的相似比為2 3,那麼這兩個相似三角形周長比為 對應角平分線的比為 對應高的比為對應中線的比為面積比為 4...