第2節同角三角函式基本關係式與誘導公式
最新考綱 1.理解同角三角函式的基本關係式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用單位圓中的三角函式線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
知識梳理
1.同角三角函式的基本關係
(1)平方關係：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關係：＝tan__α.
2.三角函式的誘導公式
[常用結論與微點提醒]
1.誘導公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.
2.同角三角函式基本關係式的常用變形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
3.在利用同角三角函式的平方關係時，若開方，要特別注意判斷符號.
診斷自測
1.思考辨析(在括號內打「√」或「×」)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角.( )
(2)六組誘導公式中的角α可以是任意角.( )
(3)誘導公式的記憶口訣中「奇變偶不變，符號看象限」，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函式名稱的變化.( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈z)，則sin α＝.( )
解析 (1)對於α∈r，sin(π＋α)＝－sin α都成立.
(4)當k為奇數時，sin α＝，
當k為偶數時，sin α＝－.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(2018·成都診斷)已知α為銳角，且sin α＝，則cos
a.－ b. c.－ d.
解析因為α為銳角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－，故選a.
答案 a
3.已知sin＝，那麼cos α＝( )
a.－ b.－ c. d.
解析 ∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故選c.
答案 c
4.(必修4p22b3改編)已知tan α＝2，則的值為________.
解析原式＝＝＝3.
答案 3
5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為________.
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.
答案 －
考點一同角三角函式基本關係式的應用
【例1】 (1)(2018·蘭州測試)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－
sin α的值為( )
a.－ b. c.－ d.
(2)(2016·全國ⅲ卷)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝( )
a. b. c.1 d.
解析 (1)∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
(2)tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
答案 (1)b (2)a
規律方法 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化.
2.應用公式時注意方程思想的應用：對於sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【訓練1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，則的值為( )
a. b. c. d.－2
(2)(2017·全國ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，則cos
解析 (1)3sin α＋cos α＝0cos α≠0tan α＝－，＝＝
＝＝.(2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α，
又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因為α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因為cos＝cos αcos＋sin αsin ，
所以cos＝×＋×＝.
答案 (1)a (2)
考點二誘導公式的應用
【例2】 (1)已知a＝＋(k∈z)，則a的值構成的集合是( )
a. b.
c.解析當k為偶數時，a＝＋＝2；
k為奇數時，a＝－＝－2.
答案 c
(2)求值：
設f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求
f的值.
解 ∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝
＝.規律方法 1.誘導公式的兩個應用
(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
2.含2π整數倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關係可知，在計算含有2π的整數倍的三角函式式中可直接將
2π的整數倍去掉後再進行運算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【訓練2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角座標系xoy中，角α與角β均以ox為始邊，它們的終邊關於y軸對稱.若sin α＝，則sin
(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050
解析 (1)α與β的終邊關於y軸對稱，則α＋β＝π＋2kπ，k∈z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈z，∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
答案 (1) (2)1
考點三誘導公式、同角三角函式基本關係式的活用
【例3】 (1)(2018·廣州模擬)已知cos＝，且－π<α<－，則cos等於( )
ab.cd.－
(2)已知tan＝，則tan
解析 (1)因為＋＝，
所以cos＝sin＝sin.
因為－π<α<－，所以－<α＋<－.
又cos＝>0，所以－<α＋<－，
所以sin＝－
＝－＝－.
(2)∵＋＝π，
∴tan＝tan
＝－tan＝－.
答案 (1)d (2)－
規律方法 1.常見的互餘的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等.
2.常見的互補的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等.
【訓練3】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝( )
a.－1 b.－ c. d.1
(2)(2016·全國ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan
解析 (1)由
得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即＝0，
∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan＝－1.
(2)由題意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
答案 (1)a (2)－
基礎鞏固題組
(建議用時：30分鐘)
一、選擇題
600°的值為( )
a.－ b.－ c. d.
解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
答案 b
2.(2018·武漢模擬)已知α是第四象限角，sin α＝－，則tan α＝( )
a.－ b. c.－ d.
解析因為α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.
答案 c
3.(2018·九江一模)已知tan θ＝3，則cos＝( )
a.－ b.－ c. d.
解析 ∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.
答案 c
4.＝( )
2－cos 2 2＋cos 2
c.±(sin 2－cos 2) 2－sin 2
解析 ＝
＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案 a
5.(2018·蘭州質檢)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos＝( )
a.－ b. c.－ d.－
解析 ∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，
∴cos＝－sin α＝－.
答案 a
6.(2018·郴州二模)已知sin＝，則cos＝( )
a. b. c.－ d.－
解析因為sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.
答案 b
7.已知sin α＝，則sin4α－cos4α的值為( )
a.－ b.－ c. d.
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
答案 b
8.(2018·咸陽月考)已知函式f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 018)的值為( )
a.－1 b.1 c.3 d.－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3.
答案 c
二、填空題
9.(2018·石家莊質檢)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，則sin 2α的值為________.
三角函式與解三角形
絕密 啟用前 2015 2016學年度?學校11月月考卷 試卷副標題 考試範圍 考試時間 100分鐘 命題人 注意事項 1 答題前填寫好自己的姓名 班級 考號等資訊 2 請將答案正確填寫在答題卡上 第i卷 選擇題 請點選修改第i卷的文字說明 1 2015高考福建，文6 若，且為第四象限角，則的值等於...
三角函式,解三角形,平面向量
暑期強化訓練 三角函式，解三角形，平面向量 1.下列函式中，週期為，且在上為減函式的是 a b c d 2.矩形abcd中，若 3.設分別是的斜邊上的兩個三等分點，已知，則 4.右圖是函式在區間上的圖象 為了得到這個函式的圖象，只需將 的圖象上所有的點 a 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫座標縮...
第三章三角函式 解三角形
第一節任意角和弧度制及任意角的三角函式 1 角的概念的推廣 1 定義 角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形 2 分類 3 終邊相同的角 所有與角 終邊相同的角，連同角 在內，可構成乙個集合s 2 弧度制的定義和公式 1 定義 把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度...