江山二中八年級數學（上）培優輔導之四（直角三角形）
班級姓名
勾股定理（及逆定理）： ∠c=90o （c為斜邊）a2+b2=c2
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質：兩銳角互餘(角的關係)、勾股定理(邊的關係)，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半(邊角關係)，這些性質在求線段的長度、證明線段倍分關係、證明線段平方關係等方面有廣泛的應用．勾股定理是現階段線段計算、證明線段平方關係的主要方法，運用勾股定理的逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關係的一種有效手段．等腰三角形三邊之比為1:1：
；30o的直角三角形三邊比為1：：2
例題求解
【例1】如圖，以等腰直角三角形abc的斜邊ab為邊向內作等邊△abd，鏈結dc，以dc為邊作等邊△dce，b、e在cd的同側，若ab=，則be
【例2】 (如圖所示)．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那麼(a+b)2的值為
【例3】 如圖，p為△abc邊bc上的一點，且pc＝2pb， 已知∠abc＝45°，∠apc＝60°，求∠acb的度數．
【例4】在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，設ac＝b，bc＝a，ab=c，cd=h．
求證：（1）； (2) ； (3) 以、、為邊的三角
形是直角三角形．
【例5】 乙個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等，這樣的直角三角形
是否存在?若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由．
學歷訓練
1．如圖，ad是△abc的中線，∠adc=45°，把△acd沿ad對折，點c落在點c′的位
置，則bc′與bc之間的數量關係是
第1題第2題
2．如圖，△abc是直角三角形，bc是斜邊，將△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acd重
合，若ap＝3，則pd的長等於
3．如圖，已知ab=13，bc=14，ac=15，ad⊥bc於d，則ad
4．如圖，四邊形abcd中，ab＝3cm，bc=4cm，cd=12㎝，da=13cm，且∠abc=90°，
則四邊形abcd的面積是cm2．
第3題第4題） （第5題第7題）
5．如圖，乙個長為10公尺的梯子，斜靠在牆上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8公尺，如果梯子
的頂端下滑1公尺，則梯子底端的滑動距離公尺。
6．如果乙個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，並且有乙個角是30°，那麼這個三角形的形狀
是( ) a．直角三角形 b．鈍角三角形 c．銳角三角形 d．不能確定
7．在四邊形abcd中，∠a=60°，∠b=∠d＝90°，bc=2，cd=3，則ab
8．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：(1)使三角形的三邊長分別為3，2，；(2)使三角形為鈍角三角形且面積為4．
（第8題第9題第10題
9．如圖，在△abc中，ab=ac，∠a=120°，mn垂直平分ab，求證：cm=2bm
10、如圖，圓柱體的稜ab=10，ae=2，cd上f點，cf=6，圓柱底面周長為16，（1）如乙隻螞蟻從e沿著外曲面爬到f，求出最短路線的長。（2）如f點在裡面，螞蟻從e爬到f，求出最短路線長。
11、如圖，在△abc中，∠bac＝90°，ab=ac，e、f分別是bc上兩點，若∠eaf=45°，
試推斷be、cf、ef之間的數量關係，並說明理由．
12．如圖，在△abc中，ab=5，ac=13，邊bc上的中線ad=6，則bc的長為________．
（第11題第12題） （第13題第14題） （第15題）
13．如圖，設p是等邊△abc內的一點，pa=3，pb=4，pc=5，求∠apb的度數．
14．如圖，乙個的三邊長均為正整數，已知它的一條直角邊的長恰是2015，那麼這樣的直角三角形共有幾個？說明過程。
15．如圖，用3個邊長為l的正方形組成乙個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為
16．若△abc的三邊a、b、c滿足條件：，求三角形
的周長與面積。
江山二中八年級數學（上）培優輔導之五（特殊三角形）
班級姓名
1．已知△abc兩邊a=4，b=3，按以下條件分別求第三邊c的長度範圍 。
（1）△abc是直角三角形 （2）△abc是銳角三角形 （3）△abc是鈍角三角形
2．如圖，∠acb=90°，ad是∠cab的平分線，bc=4，cd=，求ac的長．
3．如圖，△abc是等腰直角三角形，ab＝ac，d是斜邊bc的中點，f、f分別是
ab、ac邊上的點，且de⊥df，若be=12，cf=5，求△def的面積．
4．如圖，在△abc中，ab=ac，(1)若p是bc邊上的中點，鏈結ap，
求證：bp×cp=ab2一ap2；(2)若p是bc邊上任意一點，上面的結論還成立嗎?
若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)若p是bc邊延長線上一點，線段ab、ap、bp、cp之間有什麼樣的關係?請證明你的結論
（備用圖）
5．如圖，rt△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab於d，af平分∠cab交cd於e，交cb於
f，且eg∥ab交cb於g，求證：cf=gb
6．如圖，△abc是直角三角形，∠abc＝90°，ab=4，∠acb＝30°，d在bc上；如
△adc沿著ad對折，使得c點落在e處，且cdde，求△aec面積。
7．如圖△abc和△dbe都是等腰直角三角形，且a、e、f、d在一條直線上，bfad。
（1）求證：△abe≌△cbd （2）ad、cd、bf之間有何數量關係？寫出並證明你的結論。
8．△abc，∠acb＝90°，分別以三邊為邊長向外作正△adc、正△ebc、正△abf，
設它們的面積分別為s1、s2、s3。
（1）直接寫出s1、s2、s3的數量關係證明上述結論。
（2）將正△adc、正△ebc、正△abf都改成半圓，結論成立嗎？為什麼？
9．（雙正方形問題） 以△abc的邊ac、ab向外作正方形acfg和正方形abde，過a作
anbc，交ge於m，求證：m為ge中點。
10．如圖，在四邊形abcd中，∠abc=30°，∠adc=60°，ad=cd，求證：bd2=ab2+bc2．
11. △abc是等腰直角三角形，ab=ac，d、e在bc邊上，取∠dae=45°。
（1）如bd=3，ce=4，求de長； （2）當d在e左邊時，寫出bd、de、ce之間的等量關係，並證明。
江山二中八年級數學（上）培優輔導自測三（特殊三角形）
班級姓名
1、直角三角形有兩條邊的長為6、8，那麼第三邊上的中線長是
2、如等邊三角形的邊長為4，那麼它的面積是面積為16的等邊三
角形的邊長是
3、如圖，∠cab=45o，p是∠cab內部一點，ap=4，m、n分別在ab、ac上，那麼△pmn
的周長為
（第3題第4題第5題）
4、乙隻螞蟻從圓柱體的b點繞著側面一圈爬到稜ab中點c處，如ab=10, 圓柱體的底面周長為12，那麼螞蟻爬行的最短路程為
5、rt△abc的斜邊ab=10，ac=8，將bc沿bd對折，c點落在ab邊的e點，那麼摺痕bds△abd
6、△abc的邊ab=20，ac=15,bc上高ad=12，則△abc的面積為
7、如圖，△abc是等腰直角三角形，ab＝bc，d是斜邊ac的中點，f、f分別ab、ac邊上的點，且de⊥df，若cf=3，ae=4，（1）求ef的長。（2）求證：四邊形bedf面積是乙個定值，並求出定值。
8、如圖，△abc是等邊三角形，延長ba到d點，延長bc到e點，使ad=be,連線cd,ce,
求證：cd=ce
9、△abc是等腰直角三角形，c是直角頂點，將ac沿著ad對折，使得c點落在e點，再將△bde沿de對折，b落在f點，設de=a，對於下列結果：
df平分∠ade ； bc=（2+）a ； af=fd ； △bde周長=bc
（1）正確的結論有填序號） （2） 選乙個結論加以證明。
四年級數學上輔導計畫
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