第二章一元二次方程
6．應用一元二次方程（一）
一、學生知識狀況分析
學生已經學習了一元二次方程及其解法，對於方程的解及解方程並不陌生，對於實際問題的應用，雖然在
七、八年級學生已經進行了有關的訓練，但還是有一定的難度。
由於本節內容針對的學習者是九年級上學期的學生，已經具備了一定的生活經驗和初步的解一元二次方程的經驗，樂意並能夠與同伴進行合作交流。
二、教學任務分析
本節課的主題是發展學生的應用意識，這也是方程教學的重要任務。但學生應用意識和能力的發展不是自發的，需要通過大量的應用例項，在實際問題的解決中讓學生感受到其廣泛應用，並在具體應用中增強學生的應用能力。因此，本節教學中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，並且在問題解決過程中，促進學生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及方程觀的初步形成。
顯然，這個任務並非某個教學活動所能達成的，而應在教學活動中創設大量的問題解決的情境，在具體情境中發展學生的有關能力。為此，本節課的教學目標是：
知識目標：
通過分析問題中的數量關係，建立方程解決問題，認識方程模型的重要性，並總結運用方程解決實際問題的一般過程。
能力目標：
1、經歷分析和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關係的乙個有效的數學模型；
2、能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力；
情感態度價值觀：④在問題解決中，經歷一定的合作交流活動，進一步發展學生合作交流的意識和能力。
三、教學過程分析
本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固，情境匯入；第二環節：做一做，探索新知；第三環節：練一練，鞏固新知；第四環節：收穫與感悟；第五環節：布置作業。
第一環節；回憶鞏固，情境匯入
活動內容：提出問題：還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？
①在這個問題中，梯子頂端下滑1公尺時，梯子底端滑動的距離大於1公尺，那麼梯子頂端下滑幾公尺時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？ ②如果梯子長度是13公尺，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那麼這個距離是多少？
分組討論：
①怎麼設未知數？在這個問題中存在怎樣的等量關係？如何利用勾股定理來列方程？
②涉及到解的取捨問題，應引導學生根據實際問題進行檢驗，決定解到底是多少。
活動目的：以學生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學的勾股定理中邊長的關係為切入點，用熟悉的情境激發學生解決問題的慾望，用學生已有的知識為支點，進一步讓學生體會數形結合的思想。
活動的實際效果：大部分學生能夠聯絡以前學過的勾股定理的三邊關係對上述問題進行思考，能夠在老師的引導下主動地**問題，取得了比較理想的效果，而且也調動了學生的學習熱情，激發了學生的思維，為後面的探索奠定了良好的基礎。
第二環節做一做，探索新知
活動內容：見課本p53頁例1：
如圖：某海軍基地位於a處，在其正南方向200海浬處有一重要目標b，在b的正東方向200海浬處有一重要目標c，小島d位於ac的中點，島上有一補給碼頭。小島f位於bc中點。
一艘**從a出發，經b到c勻速巡航，一艘補給船同時從d出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達**。
已知**的速度是補給船的2倍，**在由b到c的途中與補給船相遇，那麼相遇時補給船航行了多少海浬？（結果精確到0.1海浬）
該部分是學習中的難點，在教學中要給學生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關係，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：①審清題意；②找準各條有關線段的長度關係；③建立方程模型，之後求解。
解決實際應用問題的關鍵是審清題意，因此教學中老師要給學生充分的時間去審清題意，讓學生自己反覆審題，弄清各量之間的關係，分析題目中的已知條件和要求解的問題，並在這個前提下抓住圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關係。
在學生分析題意遇到困難時，教學中可設定問題串分解難點：
（1）要求de的長，需要如何設未知數
（2）怎樣建立含de未知數的等量關係？從已知條件中能找到嗎？
（3）利用勾股定理建立等量關係，如何構造直角三角形？
（4）選定後，三條邊長都是已知的嗎？de，df，ef分別是多少？
學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論後找出題目中的等量關係即：
速度等量：v**=2×v補給船
時間等量：t**=t補給船
三邊數量關係：
弄清圖形中線段長表示的量：已知ab=bc=200海浬，de表示補給船的路程，ab＋be表示**的路程。
學生在此基礎上選準未知數，用未知數表示出線段：de、ef的長，根據勾股定理列方程求解，並判斷解的合理性。
鞏固練習：
1、乙個直角三角形的斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那麼這個直角三角的面積是多少？
2、如圖：在rt△acb中，∠c=90°，點p、q同時由a、b兩點出發分別沿ac、bc方向向點c勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒後△pcq的面積為rt△acb面積的一半？
3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修築同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方公尺，問道路應為多寬？
說明：三個題目的設計從簡單問題入手，通過勾股定理解決直角三角形邊長問題；第2題構造了乙個可變的直角三角形，解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設道路寬為x公尺，其中兩條長為20公尺，一條長為32公尺，但要注意路的交叉部分。
引導學生通過轉變圖形進行思考：若將圖中的三條路分別向上和向右平移到如圖所示的位置，應怎樣列方程求解？結果一樣嗎？哪種方法更簡單？
活動目的：一元二次方程的應用問題的型別較多，像數字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題、數形結合問題等；本節課以教材上的引例作為出發點，作為素材來呈現，可以將應用型別作適當的拓展，在練習中將教材中的應用問題歸類呈現出來，便於學生理解和掌握。本課由數形結合問題拓展到面積問題，後面可以在練習中增加數字問題，在第二課時在利潤問題上也可增加平均增長率問題等，為學生呈現更多的應用型別，讓學生在不同的情境中體會建模的重要性。
由於本節「一元二次方程的應用」與九年級下冊中的「二次函式」的應用聯絡密切，所以學好本節課可以為後續知識打下堅實的基礎。
活動實際效果：應用問題設定都經過精心準備。通過問題串的設立，將比較複雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學生在不知不覺中克服困難，體會到列方程解應用題的三個重要環節：
整體系統的審清題意；尋找等量關係；正確求解並檢驗解的合理性。採取的是一講一練，從鞏固練習的準確程度上來看，學生掌握得比較好，能夠達到預期的效果。
第三環節：練一練，鞏固新知
活動內容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的乙個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800 cm2。求原正方形鋼板的面積。
2、有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等於20，積等於96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那麼賽義德得到多少錢？
3、《九章算術》「勾股」章有一題：「今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙行各幾何。」大意是說：
已知甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，後又斜向北偏東方向走了一段後與乙相遇。那麼相遇時，甲、乙各走了多遠？
活動目的：通過三道問題的解決，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。 在教學過程中要以學生為主體，引導學生自主發現、合作交流。
活動實際效果：學生在前面活動中積累的經驗，可以幫助學生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學生在合作交流中解決，學生在訓練過程中更加理解了建模的重要性．大部分學生能夠獨立解決問題。
第四環節：收穫與感悟
活動內容： 問題：
1、列方程解應用題的關鍵
2、列方程解應用題的步驟
3、列方程應注意的一些問題
讓學生在學習小組中進行回顧與反思後，進行組間交流發言。
活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收穫，解題技能方面有哪些提高，還有什麼疑難問題希望得到解決，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中；通過對三個問題的解決，加深學生利用方程解決實際問題的意識和提高解題的能力；並且通過學生間的合作學習幫助不同層次的孩子解決實際困難，增強孩子學好數學的信心。
活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習過程，體會利用列一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進一步提高自己解決問題的能力。
第五環節：布置作業
1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等於45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？
2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環繞著寬度相等的小路，已知小路的面積為246㎡，求小路的寬度。
3、有乙個兩位數等於其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
選作題（供學有餘力的學生選作）：
一艘輪船以20海浬/時的速度由西向東航行，途中接到颱風警報，颱風中心正以40海浬/時的速度由南向北移動，距颱風中心20海浬的圓形區域(包括邊界)都屬颱風區.當輪船到a處時，測得颱風中心移到位於點a正南方向b處，且ab=100海浬.若這艘輪船自a處按原速度繼續航行，在途中會不會遇到颱風?
若會，試求輪船最初遇到
颱風的時間；若不會，請說明理由.
四、學法指導
本課是學生學習完一元二次方程的解法後的應用課，學生在七八年級已經進行過方程應用的訓練，對於方程的實際應用並不陌生，雖然學生已經進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度。本課採用啟發式、問題討論式、合作學習相結合的方式,引導學生從已有的知識和生活經驗出發，以教材提供的素材為基礎，引導學生對舊知識進行遷移，找出解決問題的新的途徑和方法；學生之間的合作交流、互助學習，能更好地調動學生的學習積極性，可以更好地根據學生的實際情況進行調整，更符合學生的認知規律。無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，並且在此過程中發現學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區，更好地進行學習指導。
22 1一元二次方程第一課時
第一課時 教學內容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念 教學目標 1.一元二次方程的一般形式及其有關概念 2 通過生活學習數學，並用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情 重難點關鍵 1 重點 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念並用這些概念解決問題 2 難點關鍵 通...
配方法解一元二次方程 第一課時
對於一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推導建立在直接開平方法的基礎上，他又是公式法的基礎 同時一元二次方程又是今後學生學習二次函式等知識的基礎。一元二次方程是中學數學的主要內容之一，在初中數學中占有重要地位。我們從知識的發展來看，學生通過一元二次方程的學習，可以對已學過的一元二次方程 二次根式...
2 8二次函式與一元二次方程的關係 第一課時
第二章二次函式 九年級數學 下 教學設計 課型新授主備 於福華修改 課題 2.8二次函式與一元二次方程的關係 1 學習目標 1.理解二次函式圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，及滿 足什麼條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根 體會二次函式 與方程之間的聯絡 2....