一．內容和內容解析
【內容】變數與函式的概念
【內容解析】
「14.1變數與函式」是人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設計是第1課時，引導學生從生活例項中抽象出常量、變數與函式等概念，其中函式的概念是本節核心內容．函式概念的核心是兩個變數間的特殊對應關係：（1）由哪乙個變數確定另乙個變數；（2）唯一對應關係.
如果直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另乙個與之有關的量x，從而達到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉化思想．
本節課是函式入門課，首先必須準確認識變數與常量的特徵，初步感受到現實世界各種變數之間聯絡的複雜性，同時感受到研究主要從化繁就簡入手，在初中階段主要研究兩個變數之間的特殊對應關係．本設計把重點放在認識「兩個變數間的特殊對應關係：由哪乙個變數確定另一變數；唯一確定的含義．」 而函式圖象較為直觀形象，有助於學生理解函式的概念，因此把函式圖象中的部分內容提前到本課時學習．
二．目標和目標解析
【目標】理解常量、變數與函式的概念．
【目標解析】
（１）借助簡單例項，學生初步感知用常量與變數來刻畫一些簡單的數學問題，能指出具體問題中的常量、變數．初步理解存在一類變數可以用函式方式來刻畫，能舉出涉及兩個變數的例項，並指出由哪乙個變數確定另乙個變數，這兩個變數是否具有函式關係．初步理解對應的思想，體會函式概念的核心是兩個變數之間的特殊對應關係，能判斷兩個變數間是否具有函式關係．
（２）借助簡單例項，引領學生參與變數的發現和函式概念的形成過程,體會從生活例項抽象出數學知識的方法，感知現實世界中變數之間聯絡的複雜性，數學研究從最簡單的情形入手，化繁為簡.
（３）從學生熟悉、感興趣的例項引入課題，引領學生參與變數的發現和函式概念的形成過程,體驗「發現、創造」數學知識的樂趣．學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數學知識，感知數學是有用、有趣的學科.
三、教學問題診斷分析
變數與函式的概念把學生由常量數學的學習引入變數數學學習中．學生知道代數式中的字母可以表示數，方程中的未知數求出來後也是乙個「已知數」，從「靜態」的角度理解字母所表示的數，另外，學生在日常生活中也接觸到函式圖象、兩個變數的關係等樸素的函式關係的生活例項．但是學生初次接觸函式的概念，難以理解定義中「唯一確定」的準確含義．
【教學重點】借助簡單例項，從兩個變數間的特殊對應關係抽象出函式的概念．
【教學難點】怎樣理解「唯一對應」．
四、教學過程設計
（一）導言：
我們生活在乙個運動的世界中，周圍的事物都是運動的，例如：地球在宇宙中的運動這一問題，此時地球在宇宙中的位置隨著時間的變化而變化，這是生活中的常識，學生都很容易理解。再例如，氣溫隨著高度的公升高而降低，年齡隨著時間的增長而增長。
這幾個問題中都涉及兩個量的關係，地球的位置與時間，溫度與高度，年齡與時間。
【設計意圖】從學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內指明本節課的學習內容．現實世界中各種量之間的聯絡紛繁複雜，應向學生說明我們數學的研究方法是化繁就簡，本節課只關注一類簡單的問題．
（二）概念的引入
1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元.
（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是元；若售出205張、310張呢？
（2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= .
思考：（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨的變化而變化；
（2）當售出票數x取定乙個確定的值時，對應的票房收入y的取值是否唯一確定？
2．行程問題：汽車以60千公尺/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千公尺，行駛時間為t小時.請根據題意填表：
思考：行駛路程隨的變化而變化，有關係式s即s隨的變化而變化；
3.氣溫問題：圖一是北京春季某一天的氣溫ｔ隨時間t變化的圖象，看圖回答：
（1）這天的8時的氣溫是 ℃，14時的氣溫是 ℃，最高氣溫是 ℃，最低氣溫是 ℃；
（3）這一天中，在4時~12時，氣溫（ ），在16時~24時，氣溫（ ）.
a.持續公升高 b.持續降低 c.持續不變
思考：（1）天氣溫度隨的變化而變化，即t隨的變化而變化；
（2）當時間t取定乙個確定的值時，對應的溫度t的取值是否唯一確定？
【設計意圖】這三個問題中都含有變數之間的單值對應關係，通過研究這些問題引出常量、變數、函式等概念，通過這種從實際問題出發開始討論的方式，使學生體驗從具體到抽象地認識過程.問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函式關係中表示兩個變數的對應關係有解析法、列表法、圖象法.
（三）概念的界定
思考：上述三個問題中，分別涉及哪些量的關係？那些量是變化的？
那些量是不變的？哪個量的變化導致另乙個量的變化而變化？在乙個問題中，當乙個量取了確定的值之後，另乙個量對應的能取幾個值？
在上面的三個問題中，其中乙個量的變化引起另乙個量的變化（按照某種規律變化），變化的量叫做變數；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元……）．並且當其中乙個變數取定乙個值時，另乙個變數就隨之確定，且它的對應值只有乙個．
教師根據學生的回答，在黑板上板書：
售出票數－－－－票房收入
行駛時間－－－－行駛路程
時間－－－－－－－－氣溫
學生們會得出：
師生對上述三個問題進行分析，找出它們的共性，歸納出函式的概念．
在某一變化過程中有兩個變數x和y，如果對於x的每乙個值y總有唯一的值與它對應，我們就說x是自變數，y是x的函式。
【設計意圖】(1)如何把具體的例項進行抽象，形式化為數學知識是本課的關鍵．這裡提出的問題「上述三個問題中，分別涉及哪些量的關係？通過哪乙個量可以確定另乙個量？」是乙個關鍵的「腳手架」，借助「腳手架」，學生經歷數學概念的形成過程，引導學生認識為什麼要引進變數、常量、函式的概念，逐步了解如何給數學概念下定義．(2)此處板書是「腳手架」的重要組成部分，揭示「兩個量的對應關係」．
問題回顧：指出前面三個問題中涉及到的量，並指出其中的變數、常量、自變數與函式.
【設計意圖】鞏固常量、變數、自變數、函式的概念．
例1 乙個三角形的底邊為5，這一邊上的高h可以任意伸縮．
（１）高h的變化會引起三角形中哪些量發生變化？這些變數是高h的函式嗎？
（２）試求面積s隨h變化的關係式，並指出其中的常量、變數與自變數。
例2如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發生變化？這些變數是半徑r的函式嗎？
【設計意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態演示．此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變數在動態變化過程中的依存關係．
例３ 問題1中，售出票數是票房的函式嗎？問題２中，學號x是成績f的函式嗎？
【設計意圖】（１）引導學生從逆向思維的角度進行思考，更全面地理解函式的概念．（２）培養學生逆向思維的習慣．（３）讓學生對這三個問題留下更深刻的印象，特別是「成績問題，」它將在函式這一章書的教學中反覆被引用，幫助學生深入理解函式的概念．
（4）概念鞏固
1．請同學們找出這些函式的常量、變數、自變數和函式：
(1) y =3000-300x (2) y=x (3) s= πr2
解：(1)常量是3000，－300；變數是x，y；自變數是x；y是x的函式。
(2)常量是1；變數是x，y；自變數是x；y是x的函式。
(3)常量是π；變數是r，s；自變數是r；s是r的函式。
2.根據所給的條件，寫出y與x的函式關係式：
1、y 比 x的1/3 少2。
2、y 是 x的倒數的4倍。
3、矩形的周長是18 cm ,它的長是ycm，寬是x cm。
4、等腰三角形的頂角度數y與底角x的關係。
【設計意圖】（1）例題和鞏固練習，鞏固變數與函式等概念，讓學生充分體會到許多問題中的變數關係都存在著函式關係，隱含著在函式關係中表示兩個變數的對應關係有解析法、列表法、圖象法.（2）練習二提出具有實際背景的問題有利於學生理解函式，在理解了函式的基礎上，讓學生自己根據題意寫出函式關係。
（五）概念辨析
1.兩個變數x、y滿足關係式，填表並回答問題：
y是x的函式嗎？為什麼？
2.下列各圖中，表示y是x的函式的有可以多選）.
3．你能舉出涉及兩個變數的例子嗎？它們具有函式關係嗎？
【設計意圖】理解函式概念的核心是「①由哪乙個變數確定另乙個變數；②唯一對應關係」，給定自變數x的任意乙個值就有唯一確定的y的值和它對應，這樣的對應可以是「自變數的乙個取值對應因變數的乙個取值」（簡稱「一對一」），也可以是「自變數的多個取值對應因變數的同乙個取值」（簡稱「多對一」），但不可以是「自變數的同乙個取值對應因變數的多個取值」（簡稱「一對多」）.
（六）質疑、小結
1．這一節課你有什麼收穫？還有什麼疑問？你可以編一道題考一考同學，也可以向同學請教．
2．函式是一種「數」嗎？
【設計意圖】通過小結，讓學生抓住函式概念的實質．
變數與函式教學反思
變析是否為函式關鍵在於 1 是否存在兩個變數，2 是否符合唯一對應性。為了較好的突出重點突破難點，在處理教學活動過程中，讓學生思考每個變化活動中反映的是哪個量隨哪個量的變化而變化，並提出乙個量確定時另乙個量是否唯一確定的問題，在得出變數和常量概念的同時滲透函式的概念.還設定兩個問題 1.在前面研究的...
《變數與函式》教學反思
吉安縣立中學李萬牛 本節課是八年級學生初步接觸函式的入門課，必須讓學生準確認識變數與常量的特徵，初步感受現實世界各種變數之間相互聯絡的複雜性，同時感受到數學研究方法的化繁為簡，知道在初中階段主要研究兩個變數之間的特殊對應關係。為了快速明了的引出課題，課前讓學生收集一些變化的例項，從學生的生活入手，開...
變數與函式反思
數學源於生活而高於生活，數學概念的引入可從生活的需要 數學的需要等方面引入 初中涉及的函式概念的核心是 量與量之間的特殊對應關係 用例項讓學生了解客觀世界中量與量之間聯絡的多樣性 複雜性，而函式研究的正是量與量之間的各種關係中的 特殊關係 函式概念的引入應具有 整體觀 不僅要提供符合函式原型的單值對...